МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів
Контакти
Тлумачний словник Авто Автоматизація Архітектура Астрономія Аудит Біологія Будівництво Бухгалтерія Винахідництво Виробництво Військова справа Генетика Географія Геологія Господарство Держава Дім Екологія Економетрика Економіка Електроніка Журналістика та ЗМІ Зв'язок Іноземні мови Інформатика Історія Комп'ютери Креслення Кулінарія Культура Лексикологія Література Логіка Маркетинг Математика Машинобудування Медицина Менеджмент Метали і Зварювання Механіка Мистецтво Музика Населення Освіта Охорона безпеки життя Охорона Праці Педагогіка Політика Право Програмування Промисловість Психологія Радіо Регилия Соціологія Спорт Стандартизація Технології Торгівля Туризм Фізика Фізіологія Філософія Фінанси Хімія Юриспунденкция |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Rang( A ) ).
Із означення випливають такі властивості рангу матриці.
1. Ранг матриці рівний нулю тільки тоді, якщо матриця нульо-ва. В інших випадках ранг матриці рівний деякому додатному числу. 2. Ранг прямокутної матриці не перевищує меншого із двох чисел m і n, тобто 0 ≤ r ≤ min( m ,n ).
3. Для квадратної матриці n-го порядку r = n тільки тоді, як-що матриця невироджена.
4. Якщо r < n то визначник матриці дорівнює нулю.
Розглянемо два методи знаходження рангу матриці.
Перший метод – метод окантування – полягає у наступному. Якщо всі мінори І-го порядку, тобто елементи матриці, рівні нулю, то r = 0 .
Якщо хоч один із мінорів І-го порядку не дорівнює нулю, а всі мінори 2-го порядку дорівнюють нулю, то r = 1 . Аналогічно, якщо мінор 2-го порядку відмінний від нуля, то досліджуємо мінори 3-го порядку. Таким способом знаходять мінор k-го порядку і перевіря-ють, чи не дорівнюють нулю мінори (k+1) -го порядку. Якщо всі мінори ( k + 1 ) -го порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці A до-
рівнює числу k . Такі мінори ( k + 1 ) -го порядку, як правило, знахо-
дять шляхом “окантування ” мінора k -го порядку. Приклад 1.Знайти ранг матриці:
Розв’язування. Оскільки в матриціAє мінори І-го порядку,відмінні від нуля, то ранг її може бути рівний одиниці. Мінор 2-го порядку
Всі вони дорівнюють нулю, тому, що перший і четвертий ряд-ки пропорційні. Значить ранг матриці A дорівнює 3 ( r = 3 ).
Розглянутий спосіб знаходження рангу матриці не завжди зручний, оскільки потрібно обчислювати велику кількість мінорів.
Другий метод визначення рангу матриці полягає в застосу-ванні елементарних перетворень матриці при зведенні її до діагона-льного вигляду. Елементарними перетвореннямиматриці називаються такіоперації:
1) перестановка місцями довільних двох рядків(або стовпців); 2) множення кожного елемента довільного рядка(або стовпця) на відмінне від нуля число;
3) викреслювання рядка (або стовпця) , який містить всі ну-льові елементи;
4) додавання до елементів довільного рядка ( або стовпця) ві-дповідних елементів іншого рядка (або стовпця) , помножених на одне і теж відмінне від нуля число.
При таких елементарних перетвореннях ранг матриці не змі-нюється.
Дві матриці називаються еквівалентними, якщо одна із них одержується з другої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень. Еквівалентні матриці не рівні між собою, зате вони мають однакові ранги.
Якщо матриці A і B еквівалентні, то це записують так: ⇔ . З допомогою елементарних перетворень матрицю можна звес-
ти до діагонального вигляду. Ранг такої матриці дорівнює кількості відмінних від нуля діагональних елементів.
Приклад 3.Знайти ранг матриці
Розв’язування.
1-й крок. В заданій матриці переставимо перший і другий рядки. На місці елемента а11 маємо елемент рівний 1. 2-й крок. Додамо до елементів другого і третього рядків відпо-відні елементи першого рядка, помножені на “–3”, а до елементів чет-вертого рядка – відповідні елементи першого, помножені на “–5”.
3-й крок. В першому рядку можна автоматично записати всі ну-лі, крім першого елемента “1”. Цього можна добитись, якщо до елеме-нтів 2-го, 3-го, 4-го і 5-го стовпців додати відповідні елементи першого стовпця, помножені відповідно на числа: “–3”,“–3”,“–2”,“–5”.
4-й крок. Додамо до елементів третього і четвертого рядків ві-дповідні елементи другого рядка, помножені на число “–2”.
5-й крок. В другому рядку на місці елементів “–7”,“–3”,“–11” запишемо нулі (аналогічно як на третьому кроці).
Розглянуті кроки зведення матриці A до діагонального ви-гляду покажемо схематично так:
В останній матриці викреслимо третій рядок і третій та четвертий стовпці, які містять всі нульові елементи:
Розв’язування. 1-й крок.Від елементів другого рядка віднімемо відповідні елементи першого і поміняємо їх місцями.
2-й крок.До елементів другого і третього рядків додамо відпо-відні елементи першого, помножені відповідно на “–3” і “–5”.
3-й крок.Запишемо в першому рядку всі нулі, крім першого елемента “1”. 4-й крок. Віднімемо відповідні елементи другого і третього рядків.
5-й крок. Аналогічно, як на 3-му кроці, одержимо в другому рядку нулі на місці елементів “9” і “–7”. Покажемо розглянуті кроки схематично.
Ранг останньої матриці дорівнює двом, а значить і ранг матриці A дорівнює 2, тобто r = 2.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|