Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Rang( A ) ).


 


Із означення випливають такі властивості рангу матриці.

 

1. Ранг матриці рівний нулю тільки тоді, якщо матриця нульо-ва. В інших випадках ранг матриці рівний деякому додатному числу.

2. Ранг прямокутної матриці не перевищує меншого із двох

чисел m і n, тобто 0rmin( m ,n ).

 

3. Для квадратної матриці n-го порядку r = n тільки тоді, як-що матриця невироджена.

 

4. Якщо r < n то визначник матриці дорівнює нулю.

 

Розглянемо два методи знаходження рангу матриці.

 

Перший метод – метод окантування – полягає у наступному. Якщо всі мінори І-го порядку, тобто елементи матриці, рівні нулю, то r = 0 .

 

Якщо хоч один із мінорів І-го порядку не дорівнює нулю, а всі мінори 2-го порядку дорівнюють нулю, то r = 1 . Аналогічно, якщо мінор 2-го порядку відмінний від нуля, то досліджуємо мінори 3-го порядку. Таким способом знаходять мінор k-го порядку і перевіря-ють, чи не дорівнюють нулю мінори (k+1) -го порядку. Якщо всі мінори ( k + 1 ) -го порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці A до-

 

рівнює числу k . Такі мінори ( k + 1 ) -го порядку, як правило, знахо-

 

дять шляхом “окантування ” мінора k -го порядку. Приклад 1.Знайти ранг матриці:

            − 1     − 3              
          A = − 6 .              
                                         
Розв’язування. Всі мінори2-го порядку                
М1 =   − 1   = 0 , M2 =   − 1 − 3     = 0 , M3 =   2 − 3   = 0  
             
  − 6             6 9      
дорівнюють нулю. Значить, ранг матриці A дорівнює одиниці:  
r( A ) = 1.                                      
Приклад 2.Знайти ранг матриці:                  
                − 3              
                6              
          A = − 2                  
                           
                − 6            

Розв’язування. Оскільки в матриціAє мінори І-го порядку,відмінні від нуля, то ранг її може бути рівний одиниці. Мінор 2-го порядку


 


                      M1 =       − 3   = 0 ,            
                                         
                                − 6                      
але, наприклад, мінор             − 3                            
                              = 21            
                      M2 =                
                          6                          
відмінний від нуля. Окантовуючи мінор   М2 ,одержимо мінор3-го  
порядку (в матриці A показано пунктиром)              
                      М3 =     − 3                  
                                         
                        − 6   .            
                                                 
Розглянемо мінори 4-го порядку, які окантовують даний мінор М3  
        − 3                          
                     
M4 =     6 2 3   ; M5 =       2 3   ;      
                          − 2              
        − 6                          
      − 3           − 3      
             
M7 =   6   ; M8 =             4 − 6   .  
        − 2                   − 2                
      − 6           − 6      

 

Всі вони дорівнюють нулю, тому, що перший і четвертий ряд-ки пропорційні. Значить ранг матриці A дорівнює 3 ( r = 3 ).

 

Розглянутий спосіб знаходження рангу матриці не завжди зручний, оскільки потрібно обчислювати велику кількість мінорів.

 

Другий метод визначення рангу матриці полягає в застосу-ванні елементарних перетворень матриці при зведенні її до діагона-льного вигляду.

Елементарними перетвореннямиматриці називаються такіоперації:

 

1) перестановка місцями довільних двох рядків(або стовпців);

2) множення кожного елемента довільного рядка(або стовпця) на відмінне від нуля число;

 

3) викреслювання рядка (або стовпця) , який містить всі ну-льові елементи;


 

 


4) додавання до елементів довільного рядка ( або стовпця) ві-дповідних елементів іншого рядка (або стовпця) , помножених на одне і теж відмінне від нуля число.

 

При таких елементарних перетвореннях ранг матриці не змі-нюється.

 

Дві матриці називаються еквівалентними, якщо одна із них одержується з другої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень. Еквівалентні матриці не рівні між собою, зате вони мають однакові ранги.

 

Якщо матриці A і B еквівалентні, то це записують так: ⇔ . З допомогою елементарних перетворень матрицю можна звес-

 

ти до діагонального вигляду. Ранг такої матриці дорівнює кількості відмінних від нуля діагональних елементів.

 

Приклад 3.Знайти ранг матриці

 
   
A = − 5 0 − 7 .
 

Розв’язування.

 

1-й крок. В заданій матриці переставимо перший і другий рядки. На місці елемента а11 маємо елемент рівний 1.

2-й крок. Додамо до елементів другого і третього рядків відпо-відні елементи першого рядка, помножені на “–3”, а до елементів чет-вертого рядка – відповідні елементи першого, помножені на “–5”.

 

3-й крок. В першому рядку можна автоматично записати всі ну-лі, крім першого елемента “1”. Цього можна добитись, якщо до елеме-нтів 2-го, 3-го, 4-го і 5-го стовпців додати відповідні елементи першого стовпця, помножені відповідно на числа: “–3”,“–3”,“–2”,“–5”.

 

4-й крок. Додамо до елементів третього і четвертого рядків ві-дповідні елементи другого рядка, помножені на число “–2”.

 

5-й крок. В другому рядку на місці елементів “–7”,“–3”,“–11” запишемо нулі (аналогічно як на третьому кроці).

 

Розглянуті кроки зведення матриці A до діагонального ви-гляду покажемо схематично так:


 

 


  3 5 2 3 1 3 3 2        
    1 3 3 2     3 5 2 3          
A = 3 1 5 0 7   3 1   − 5 0 − 7      
  5 7 1 4   5 7 1 4        
1 3         1 0        
0 − 4 − 7   − 3   11 − 4 − 7 − 3 − 11  
    − 8     − 6           − 8 − 14 − 6      
        − 22    
  0 − 8   − 6     0 − 8 − 14 − 6 − 24    
1 0         1 0 0 0      
0 − 4 − 3   − 11 0   − 4 0 0 .      
  0 0           0 0        
                      0 0            
  0 0     − 2       − 2      
                                                 

В останній матриці викреслимо третій рядок і третій та четвертий стовпці, які містять всі нульові елементи:

     
      4      
  A ⇔ 0 .  
           
    0 − 2  
Ранг цієї матриці дорівнює трьом, а значить і ранг матриці A  
теж дорівнює 3, тобто r = 3 .            
Приклад 4.Знайти ранг матриці:      
    − 3 2  
A =              
3 4 1 − 3 .  
      − 1    
  5   − 5  

Розв’язування.

1-й крок.Від елементів другого рядка віднімемо відповідні елементи першого і поміняємо їх місцями.

 

2-й крок.До елементів другого і третього рядків додамо відпо-відні елементи першого, помножені відповідно на “–3” і “–5”.

 

3-й крок.Запишемо в першому рядку всі нулі, крім першого елемента “1”.

4-й крок. Віднімемо відповідні елементи другого і третього рядків.

 

5-й крок. Аналогічно, як на 3-му кроці, одержимо в другому рядку нулі на місці елементів “9” і “–7”. Покажемо розглянуті кроки схематично.


 

 


  5 − 3 − 2 − 2 1  
  A = 3 − 1 − 3 ⇔ 2 − 3 − 2  
              − 1      
  5 1 3 − 5   5 5    
1 1 − 2 2 − 1 1 0 0 0    
⇔ 0 1 9 − 7 0 0 1 9 7    
                    1 9 − 7        
  0 1 9 − 7 0   0      
1 0 1 0        
⇔ 0 1 9 − 7   1 0 .        
               
                                   
                                                           

Ранг останньої матриці дорівнює двом, а значить і ранг матриці A дорівнює 2, тобто r = 2.

 




Переглядів: 415

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Ранг матриці | Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.01 сек.