Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Еліпс і його застосування

З еліпсом людині доводиться мати справу в найрізноманітніших галузях її діяльності. Садівник розмічає клумбу, обмежену еліпсом. Художник викреслює еліптичний контур для розпису стін або стелі зали. Математик розраховує еліптичну траєкторію руху супутника Землі. Нарешті, сама Земля, як відомо, рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

1. Канонічне рівняння еліпса. Однією з найбільш відомих і цікавих кривих другого порядку є еліпс. Уявлення про цю криву можна отримати, напри-клад, якщо трохи стиснути круглий тонкий металевий обруч (рис.3.2). Дамо тепер строге визначення еліпса.

Еліпсом називається множина всіх точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок тієї ж площини, які називаються фокусами, є величина постійна, більша, ніж відстань між фокусами.

Складемо рівняння еліпса з фокусами у точках і .

Для цього обираємо прямокутну систему координат так, щоб вісь проходила через фокуси, а початок координат ділив відрізок навпіл (рис.3.3).

Позначимо . Отримаємо і . Нехай – довільна точка еліпса.

Відстані і називаються фокальними радіусами точки .

Нехай (1), тоді згідно означення еліпса – величина постійна, причому , тобто .

За формулою відстані між двома точками знаходимо

і . (2)

Підставимо знайдені значення і у рівність (1), отримаємо рівняння еліпса:

. (3)

Перетворимо рівняння (3):

;

тобто .

Так як , то . Нехай (4), тоді останнє рівняння прийме вигляд , або . (5)

Рівняння (5) називається канонічним рівнянням еліпса.

Рівняння (5) є алгебраїчним рівнянням другого степеня. Отже, еліпс є алгебраїчною лінією другого порядку.

2. Дослідження форми еліпса за його рівнянням. Визначимо форму еліпса за його канонічним рівнян-ням (рис.3.4):

1) Координати точки не задовольняють рівняння (5), тому еліпс, визначений цим рівнянням, не проходить через початок координат.

2) Знайдемо точки перетину еліпса з осями координат. Поклавши у (5) , знайдемо . Отже, вісь еліпс перетинає у точках і . Поклавши у (5) , знайдемо . Отже, вісь еліпс перетинає у точках і .

3) Так як у (5) і у парних степенях, то еліпс симетричний відносно координатних осей, а, отже, і відносно початку координат.

4) Всі точки еліпса знаходяться всередині прямокутника, обмеженого прямими , , , .

Точки , , , перетину еліпса з осями координат називаються вершинами еліпса.

З (4) випливає, що . Відрізок ( , і ) називається великою віссю еліпса, а відрізок ( ) – малою віссю.

Вісі і є осями симетрії еліпса, а точка – центром симетрії (або просто центром) еліпса.

Приклад 1. Визначити довжини осей і координати фокусів еліпса .

Розв’язання. Розділимо обидві частини рівняння на , тоді .

Звідси або , тобто ;

або , тобто .

Маємо , звідки

Отже, координати фокусів будуть і .

Відповідь: , ; і .

Приклад 2. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо фокусна відстань дорівнює , а мала вісь дорівнює .

Розв’язання. Маємо , тобто ;

, тобто .

Тоді ,

Отже, рівняння еліпса має вигляд .

Відповідь: .

Якщо , то рівняння (5) вже не є канонічним рівнянням еліпса. Проте і в цьому випадку (5) визначає еліпс (рис.3.5), більша вісь якого лежить на осі , а мала вісь – на осі . Фокуси такого еліпса знаходяться в точках і , де (рис.3.5).

3. Ексцентриситет еліпса. Ексцентриситетом еліпса називається відношення відстані між фокусами до довжини більшої осі.

Позначається ексцентриситет .

Тоді:

1) , то ; (6)

2) , то . (7)

З формул (6) і (7) випливає, що . При цьому зі збільшенням різниці між півосями і збільшується відповідним чином і ексцентриситет еліпса, наближаючись до одиниці; при зменшенні різниці між і зменшується і ексцентриситет, наближаючись до нуля.

Отже, за величиною ексцентриси-тету можна судити про форму еліпса: чим більший ексцентриситет, тим більше витягнутий еліпс вздовж більшої осі; чим менший ексцен-триситет, тим більше еліпс за формою ближчий до кола (рис.3.6).

Якщо , то , і рівняння еліпса приймає вигляд , яке визначає коло радіуса з центром у початку координат.

Отже, коло можна розглядати як частинний випадок еліпса, у якого півосі рівні між собою, а отже, ексцентриситет дорівнює нулю.

Приклад. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі , якщо його більша вісь дорівнює , а .

Розв’язання. Так як фокуси лежать на осі , то , тобто , і , звідки . Знаходимо .

Отже, , або .

Відповідь: .

4. Директриси еліпса. Директрисами еліпса називаються дві прямі, які перпендикулярні до осі, на якій розміщені фокуси еліпса і знаходяться на відстані від центра еліпса.

Директриси не перетинають сам еліпс.

Якщо фокуси лежать на осі , то директриси еліпса паралельні осі (рис.3.7). Тому рівняння директрис мають вигляд .

Властивість еліп-са:

Відношення дов-жини фокального радіуса кожної точки еліпса до відстані цієї точ-ки від відповідної директриси є ста-лим і дорівнює ексцентриситету еліпса, тобто .

Приклад. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо задана точка еліпса, а відстань між його директрисами дорівнює .

Розв’язання. Точка лежить на еліпсі. Тому її координати задовольняють рівняння еліпса, тобто або , оскільки .

Тоді .

За умовою відстань між директрисами , тобто .

Враховуючи рівняння директриси, маємо або (бо ), звідки .

Отже, для знаходження маємо рівняння

, або ,

Оскільки , то , , .

Тоді , і шукане рівняння має вигляд .

Відповідь: .

5. Рівняння еліпса зі зміщеним центром. При розв’язуванні різних задач доводиться мати справу з еліпсами, центри яких не лежать в початку координат.

Якщо осі еліпса паралельні до осей координат, а центр еліпса міститься в точці , то рівняння еліпса має вигляд

Його називають рівнянням еліпса зі зміщеним центром.

Приклад. Встановити, чи рівняння визначає еліпс, і знайти координати його центра , півосі і ексцентриситет.

Розв’язання. Згрупуємо члени рівняння з та і виділимо повні квадрати. Маємо

або .

Поділимо всі члени рівняння на :

Це рівняння еліпса. Центр еліпса знаходиться в точці , мала піввісь дорівнює , а велика – .

Оскільки велика вісь міститься на прямій, паралельній , то , тобто .

Тоді .

Відповідь: еліпс, , , , .

6. Застосування еліпса до розв’язування прикладних задач. Наведемо «оптичну» властивість еліпса:

Промінь світла, що посилають з точкового джерела, яке розміщене у фокусі еліпса, відобразившись від еліпса як від дзеркальної поверхні, потрапляє у другий фокус.

Згідно одному з законів Кеплер, кожна планета Сонячної системи рухається еліптичною траекторією, в одному з фокусів якої знаходиться Сонце. Також еліптичними траекторіями обертаються навколо Землі тисячі штучних супутників.

Приклад. Земля рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Найменша відстань Землі від Сонця дорівнює приблизно млн. км, а найбільша – млн. км. Знайти більшу піввісь і ексцентриситет орбіти Землі.