МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Гіпербола та її застосування
В ряді задач механіки зустрічається поняття гіперболи. Дуже поширене це поняття у механіці космічних польотів. Це пов’язане з запуском космічних апаратів. У сфері дії Землі траєкторія космічного апарата може бути гіперболічною.
1. Канонічне рівняння гіперболи. Гіперболою називається множина всіх точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох даних точок тієї ж площини, які називаються фокусами, є величина постійна, менша ніж відстань між фокусами. Складемо рівняння гіперболи з фокусами у точках і . Для цього виберемо прямокутну систему координат так, щоб вісь проходила через фокуси гіперболи, а початок координат ділив відрізок пополам (рис.3.8). Позначимо , отримаємо і . Нехай – довільна точка гіперболи. Відстані і називаються фокальними радіусами точки . За означенням гіперболи (1), де – величина постійна і , тобто . Підставивши і у рівність (1), отримаємо рівняння гіперболи . (2) Рівняння (2) можна привести до більш простого виду: , , , , , тобто . Так як , то . Покладемо (3), тоді остання рівність перепишеться у вигляді , або . (4) Рівняння (4) називається канонічним рівнянням гіперболи. Рівняння (4) є алгебраїчним рівнянням другого степеня. Отже, гіпербола є алгебраїчною лінією другого порядку.
2. Дослідження форми гіперболи за її рівнянням. Визначимо форму гіперболи за її канонічним рівнянням (рис.3.9): 1) Координати точки не задовольняють рівняння (4), тому гіпербола не проходить через початок координат. 2) Знайдемо точки перетину гіперболи з осями координат. Нехай у (4) , знахо-димо . Отже, гіпербо-ла перетинає вісь у точках і . Нехай у (4) , знахо-димо , а це означає, що система не має дійсних розв’язків. Отже, гіпербола не перетинає вісь . 3) Так як у рівняння (4) змінні і входять лише у парних степенях, то гіпербола симетрична відносно осей координат, а отже, і відносно початку координат. 4) Всі точки гіперболи розташовані зліва від прямої і праворуч від прямої . 5) Гіпербола складається з двох віток, одна з яких розташована праворуч від прямої (права вітка гіперболи), а друга – ліворуч від прямої (ліва вітка гіперболи). Точки і перетину гіперболи з віссю називаються вершинами гіперболи. Відрізок ( ), який з’єднує вершини гіперболи, називається дійсною віссю. Відрізок ( ), який з’єднує і , називається уявною віссю. Число називається дійсною піввіссю, число – уявною піввіссю. Вісі і є осями симетрії гіперболи. Точка перетину осей симетрії називається центром гіперболи. У гіперболи (4) фокуси і завжди знаходяться на дійсній осі. Приклад 1. Скласти рівняння гіперболи, вершини якої знаходяться у точках і , а відстань між фокусами дорівнює . Розв’язання. Маємо ; , тобто . За формулою . Отже, шукане рівняння . Відповідь: . Приклад 2. Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо довжина її дійсної осі дорівнює і гіпербола проходить через точку . Розв’язання. Маємо , тобто . Поклавши у (4) , , , отримаємо , , , , , тобто . Отже, . Відповідь: .
3. Асимптоти гіперболи. Рівняння асимптот гіперболи мають вигляд . Асимптоти є продовженнями діа-гоналей прямокутни-ка, сторони якого паралельні осям та і рівні відповідно і , а його центр знаходиться у початку координат. При цьому вітки гіперболи розташо-вані всередині вертикальних кутів, які утворюють асимптоти, і наближаються як завгодно близько до асимптот (рис.3.10). Приклад. Скласти рівняння гіперболи, яка проходить через точку і має асимптоти . Розв’язання. З даних рівнянь асимптот маємо , тобто . Замінивши у рівнянні гіперболи (4) змінні і координатами точки і його знайденим значенням, отримаємо , , , , звідки . , тобто . Отже, шукане рівняння буде , або . Відповідь: .
4. Ексцентриситет гіперболи. Ексцентриситет гіперболи називається відношення відстані між фокусами до довжини дійсної осі і позначається буквою . (5) Збільшення (зменшення) ексцентриситету відповідає збільшенню (зменшенню) відношенні . Це випливає зі співвідношення . Якщо ексцентриситет прямує до , залишаючись більше , то відношення (кутовий коефіцієнт асимптоти) прямує до нуля, тобто асимптоти прямують до горизонтального положення, а отже, вітки гіперболи наближаються, «притискаються» до осі (рис.3.11). Якщо ексцентриситет необмежено зростає ( ), то відношення також прямує до нескінченності, тобто асимптоти прямують до вертикального положення (до осі ), а отже, вітки гіперболи все круті-ше піднімаються догори над віссю (рис.3.12). Приклад. Знайти ексцентриситет гіперболи . Розв’язання. З рівняння гіперболи маємо , тобто ; . За формулою (5): . Відповідь: .
5. Директрисигіперболи. Директрисами гіперболи називаються дві прямі, які перпендикулярні до фокальної осі (тобто до осі, на якій розміщені фокуси) гіперболи і знаходяться на відстані від центра гіперболи. Директриси гіперболи не перетинають її. Якщо фокуси гіперболи ле-жать на осі , то директриси паралельні осі (рис.3.13). Тому рівняння директрис гіперболи мають вигляд . Властивість гіперболи: Відношення довжини фокального радіуса кожної точки гіперболи до відстані цієї точки від відповідної директриси є сталим і дорівнює ексцентриситету гіперболи, тобто . Приклад. Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомі відстань між її директрисами і ексцентриситет . Розв’язання. За умовою відстань між директрисами і . Тому маємо або , . Звідси і . Отже, . Тоді шукане рівняння гіперболи має вигляд . Відповідь: .
6. Спряжені гіперболи. Розглянемо рівняння виду (6). При переході до нової системи координат, отриманої в результаті повороту осей старої системи навколо початку координат на кут (або ), рів-няння (6) пере-твориться у рів-няння гіперболи . Отже, крива, яка визначається рівнянням (6) є гіпербола, дійсна вісь якої розташована на осі , а уявна вісь – на осі (рис.3.14). Дві гіперболи, які визначаються рівняннями і в одній і тій самій системі координат і при одних і тих же значеннях і , називаються спряженими одна з одною.
7. Рівностороння гіпербола. Гіпербола називається рівносторонньою (рівнобічною), якщо довжини її півосей рівні між собою, тобто . В цьому випадку рівняння гіперболи прийме вигляд , або (7). Рівностороння гіпербола визначається одним пара-метром , її асимптотами є бісектриси координатних кутів (рис.3.15). У всіх рівносторонніх гіпербол один і той самий ексцентриситет . Приклад. Скласти рівняння рівнобічної гіперболи, яка проходить через точку . Розв’язання. Замінивши у (7) змінні та координатами точки , отримаємо: , тобто . Отже, шуканим рівнянням буде . Відповідь: .
8. Рівняння гіперболи зі зміщеним центром. Якщо центр гіперболи знаходиться не в початку координат, а в точці , а осі гіперболи паралельні осям координат, то рівняння гіперболи буде мати вигляд і . (8) Його називають рівнянням гіперболи зі зміщеним центром. Приклад. Встановити, чи рівняння визначає гіперболу, і знайти координати її центра, півосі і ексцентриситет. Розв’язання. Згрупуємо члени рівняння з та і виділимо повні квадрати. Маємо , або . Поділимо всі члени рівняння на : – рівняння гіперболи. Центр гіперболи знаходиться в точці , дійсна піввісь дорівнює , уявна – . Знайдемо . Тоді . Відповідь: гіпербола; , , , .
Читайте також:
|
||||||||
|