• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Парабола та її застосування

Парабола – добре відома ще зі школи.

Так, в фізиці розглядали параболу, як траєкторію руху тіла, наприклад камінь (снаряд) кинутий під кутом до горизонту (при цьому, якщо враховувати опір повітря, то крива, що описується тілом, буде трохи відрізнятися від параболи – зображена пунктиром).

Поняття параболи використовується у ряді задач астрономії, архітектури. Наприклад, параболічні дзеркала; арки мостів; космічні апарати можуть рухатися по параболічній траєкторії.

1. Канонічне рівняння параболи. Параболою називається множина точок площини, кожна з яких однаково віддалена від даної точки, яка називається фокусом, і від даної прямої, що не проходе через дану точку і називається директрисою.

Складемо рівняння параболи з фокусом у даній точці і директрисою якої є пряма , що не проходе через .

Виберемо прямокутну систему координат так, щоб вісь була проведена через фокус перпендикулярно директрисі у напрямі від до , а початок координат був розташований посередині між фокусом і директрисою (рис.3.16).

Відстань від фокуса до директриси називається параметром параболи і позначається через ( ).

Отже, фокус має координати ; а рівняння директриси має вигляд , або .

Нехай – довільна точка параболи. З’єднаємо точку з і проведемо . Безпосередньо з рис.1 видно, що , а за формулою відстані між двома точками . Згідно означенню параболи (1), отже, . (2)

Рівняння (2) є шуканим рівнянням параболи. Для спрощення (2) перетворюємо його наступним чином , тобто . (3)

Рівняння (3) називається канонічним рівнянням параболи.

Рівняння (3) є алгебраїчним рівнянням другого степеня. Отже, парабола є алгебраїчною лінією другого порядку.

2. Дослідження форми параболи за її рівнянням. Визначимо форму параболи за її канонічним рівнянням (рис.3.17):

1) Координати точки задовольняють рівнянню (3), отже, парабола, визначена цим рівнянням, проходе через початок координат.

2) Так як у (3) змінна входить лише у парній степені, то парабола симетрична відносно осі абсцис.

3) Так як , то з (3) випливає, що . Отже, парабола розташована праворуч від осі .

4) Вісі параболи необмежено віддаляються як від осі , так і від осі .

Вісь називається віссю симетрії параболи. Точка перетину параболи з віссю симетрії називається вершиною параболи. Відрізок називається фокальним радіусом точки .

Для складання рівняння параболи спеціальним чином обрали прямокутну систему координат. Якщо систему координат обрати по-іншому, то рівняння буде мати інший вигляд.

1) Якщо вісь спрямувати від фокуса до директриси (рис.3.18), то рівняння буде (4).

Фокус має координати , а директриса задана рівнянням .

2) Якщо вісь провести через фокус перпендикулярно до директриси у напрямі від до , а початок координат розташувати посередині між фокусом і директрисою (рис.3.19), то рівняння буде (5).

Фокус має координати , директриса задана рівнянням .

3) Якщо вісь провести через фокус перпендикулярно до директриси у напрямі від до (рис.3.20), то рівняння буде (6).

Координати її фокуса – , а рівняння директриси буде .

Про рівняння (4), (5) і (6) кажуть, що вони мають найпростіший вигляд.

Прийнято вважати ексцентриситет параболи рівним одиниці.

Приклад. Дана парабола . Знайти координати її фокуса і скласти рівняння директриси.

Розв’язання. Дана парабола симетрична відносно осі , вітки напрямлені вгору. Порівнюючи дане рівняння з рівнянням (5), знаходимо , тобто .

Отже, фокус має координати , а рівняння директриси буде .

Відповідь: , .

3. Паралельне перенесення параболи. Нехай дана парабола з вершиною в точці , вісь симетрії якої паралельна осі , а вітки напрямлені вгору (рис.3.21). Тоді її рівняння буде мати вигляд:

. (7)

Рівняння (7) називається рівнянням параболи зі зміщеною вершиною.

Якщо перетворити це рівняння наступним чином:

,

.

Поклавши , , , будемо мати (8), яке знаємо ще зі школи.

Приклад. Скласти рівняння параболи з вершиною у точці і з фокусом у точці .

Розв’язання. Вершина і фокус даної параболи лежать на прямій, паралельній осі (у них однакові абсциси), вітки параболи напрямлені вгору (ордината фокуса більша ординати вершини), відстань від фокуса до вершини дорівнює , тобто . Підставимо у (7) і отримаємо , або .

Відповідь: .

Якщо помістити у фокус параболи джерело світла (радіохвиль), то промені , , …, відобразившись від параболи як від дзеркальної поверхні (це означає, що падаючий і відбитий промені утворюють однакові кути з дотичною до параболи в даній точці), будуть напрямлені паралельно осі параболи.

Ця властивість використовується для отримання потужного потоку світла (радіохвиль) при обладнанні прожекторів (антен), ряду оптичних приладів.

Приклад. З фокуса параболічного прожектора напрямлено промінь світла у точку прожектора. Знайти рівняння відбитого променя, якщо осьовий переріз прожектора – парабола .

Розв’язання. У відповідності з оптичною властивістю параболи відображений промінь буде напрямлений паралельно фокальній осі параболи, тобто осі . Пряма, що містить цей промінь, проходить через точку , а отже, має рівняння .

Відповідь: .

Приклад. Канат підвісного мосту має форму параболи. Потрібно скласти її рівняння відносно вказаних на рис.3.24 осей координат, якщо прогин канату , а довжина мосту .

Розв’язання. Парабола симетрична відносно осі , вітки напрямлені вгору. Тоді загальний вигляд шуканого рівняння буде .

За умовою точка . Ця точка належить параболі, отже, , звідки .

Шукане рівняння має вигляд .

Відповідь: .

Приклад. Струмінь води, що її викидає пожежний насос, описує параболічну траекторію з параметром . Визначити висоту струменя, якщо він падає на відстані м від місця виходу.

Розв’язання. Розташуємо прямокутну систему координат так: Вісь проходе через найвищу точку струменя води паралельно поверхні землі; вісь також проходе через найвищу точку струменя води (рис.3.25).

Отже, парабола симетрична відносно осі , вітки напрямлені вниз. Тоді загальний вигляд рівняння траекторії падіння води буде . За умовою , звідки .

За умовою м, тоді м. Підставимо це у рівняння , .

Отже, м.

Відповідь: м.

Контрольні питання

1) Дати означення параболи.

2) Що називається параметром параболи? Як, знаючи параметр параболи, визначити її фокус і директрису?

3) Дати означення осі і вершини параболи. Під яким кутом перетинаються вісь і директриса параболи?

4) Чим відрізняються ексцентриситети еліпса, гіперболи і параболи?

5) В чому полягає оптична властивість параболи?

Читайте також:

1. V. Виконання вправ на застосування узагальнювальних правил.
2. А.1 Стан , та проблемні питання застосування симетричної та асиметричної криптографії.
3. Автомобільні ваги із застосуванням цифрових датчиків
4. Акти застосування норм права в механізмі правового регулювання.
5. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.
6. Акти правозастосування, їх види
7. Акти правозастосування.
8. Алгоритм із застосування річної процентної ставки r.
9. Алгоритм із застосуванням річної облікової ставки d.
10. Аміноглікозиди (стрептоміцину сульфат, гентаміцину сульфат). Механізм і спектр протимікробної дії, застосування, побічні ефекти.
11. Аналіз зображувальних засобів. Застосування цілісного аналізу
12. Антисептики ароматичного ряду (фенол чистий, іхтіол, дьоготь, мазь Вількінсона, лінімент за Вишневським). Особливості протимікробної дії та застосування.

Переглядів: 12112