• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Графічний метод розв'язування задач НП

Як було зазначено вище, для ЗНП не існує єдиного методу їх розв'язування. Коли число змінних задачі , то скористаємося графічним методом, алгоритм якого наступний:

1) будуємо область допустимих розв’язків задачі і лінії рівня для цільової функції.

2) в точці або сукупності точок, де лінія рівня перший раз торкнеться області допустимих розв'язків, цільова функція буде набувати мінiмального значення. Підставивши координати точок дотику в цільову функцію, знайдемо величину мінімуму.

3) підставивши в цільову функцію координати тих точок, в яких лінія рівня останній раз торкнеться області допустимих розв'язків, отримаємо величину глобального максимуму.

Приклад 4.6. Знайти найменше значення функції при обмеженнях

Розв'язок. Область допустимих розв'язків представляє собою многокутник АВСЕ (рис. 4.1). Побудуємо лінії рівня цільової функції, поклавши . Отримаємо рівняння кола . Збільшуючи чи зменшуючи значення с( квадрат радіуса), ми будемо збільшувати чи зменшувати значення цільової функції, тобто лінії рівня є колами з центром у точці М(4; 6) та радіусами . Провівши з точки M, концентричні кола різних радіусів, одержимо, що мінімальне значення функція f набуваєв точці D, в якій коло дотикається до області розв’язків. Точка D не є кутовою, її координати знайдемо, розв’язавши систему рівнянь

Тут є тим значенням, при якому коло дотикається області розв’язків у точці D. З другого рівняння системи

.

Підставивши його в перше рівняння, отримаємо:

.

Звідси, шляхом нескладних перетворень приходимо до квадратного рівняння відносно :

.

Оскільки D – це точка дотику кола і прямої, то отримане рівняння повинно мати єдиний розв’язок, а це можливо тоді, коли дискримінант дорівнює нулю.

Маємо рівняння

.

Звідси знаходимо функція набуває в точці .

Рис. 4.1.

Рис. 4.2.

Розв'язок перевіримо методом множників Лагранжа. Врахувавши, що найменше значення досягається на прямій , отримаємо нову задачу: знайти найменше значення функцїї при умові Будуємо функцію Лагранжа (4.7) .

.

Тоді система рівнянь (4.10) має вигляд

або

а її розв'язок Точка D з координатами – стаціонарна точка. ЇЇ координати співпадають з одержаними раніше графічним методом. Знаходимо другі частинні похідні функції L і обчислимо їх значення у критичній точці.

Запишемо . З обмеження знаходимо зв’язки на диференціали , . Тоді

Оскільки , то D – точка мінімуму.

Приклад 4.7. За умовою прикладу 4.6 знайти найменше і найбільше значення функції .

Розв’язок. Найменше значення функція приймає в точці М(4;1) (рис.4.2): f (M)=0.Функція z має два локальних максимуми: в вершині Е(6;0) функція f (E)=5, в вершині С(0;4) функція f (C)=25, причому глобальний максимум досягається в вершині С і .

Переглядів: 674