Метод множників Лагранжа. Економічний зміст множників Лагранжа
Розглянемо наступну ЗНП: знайти найбільше значення цільової функції
(4.20)
при обмеженнях
, (4.21)
Оскільки обмеження задачі задані рівняннями, то для знаходження розв’язку задачі можна скористатися класичним методом знаходження умовного екстремуму для функцій багатьох змінних. При цьому будемо припускати, що функції , , неперервні разом зі своїми першими частинними похідними. Для знаходження розв'язку задачі складемо функцію Лагранжа (4.7).
Знайшовши частинні похідні і , за виконання умов (4.8) і (4.9) систему (4.10) запишемо у вигляді
(4.22)
яка задає необхідні умови того, щоб функція (4.20) в точці досягала локального умовного екстремуму.
Якщо для функцій і існують частинні похідні другого порядку і є неперервними та виконуються достатні умови існування локального екстремуму функції в точці , координати якої є розв'язком системи (4.22), а саме, якщо другий диференціал функції в точці є додатно (від’ємно) визначена квадратична форма, то є точкою локального мінімуму (максимуму), якщо ж квадратична форма невизначена, то в точці екстремуму не існує.
Наведемо алгоритм розв'язування задачі (4.20) — (4.21) методом множників Лагранжа:
1) записати функцію Лагранжа (4.7);
2) знайти частинні похідні і , і розв'язавши отриману систему (4.22), знайти всі стаціонарні точки функції Лагранжа;
3) із стаціонарних точок, взятих без множників вибрати ті, в яких функція Лагранжа (4.7) досягає умовного локального екстремуму.
Дамо тепер економічну інтерпретацію множників Лагранжа. Для цього розглянемо задачу: знайти найбільше значення функції при обмеженнях .
Припустимо, що умовний екстремум досягається в точці і рівний , а величина в обмеженні може змінюватися. Тоді координати точки екстремуму і екстремальне значення стануть залежними від : тобто
. (4.23)
Оскільки , то
(4.24)
Крім того, в точці екстремуму , виконуються необхідні умови (4.22).Звідки для і отримаємо
(4.25)
Підставляючи (4.25) в (4.23) і враховуючи (4.24), отримаємо:
Аналогічно для задачі (4.20)–(4.21) одержимо
Якщо інтерпретувати як дохід або вартість, а – як об'єми деяких ресурсів, то множники Лагранжа , показують, як зміниться максимальний дохід (або мінімальна вартість), якщо кількість ресурсу –го виду збільшиться на одиницю.