• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Підстановки

Взаємно однозначна функція називається підстановкою на . Якщо множина|безліч| кінчена (), то можна вважати|лічити|, що . В цьому випадку підстановку зручно задавати таблицею з|із| двох рядків. У першому рядку – значення аргументів, в другій – відповідне значення функції. Нижче приведені приклади|зразки| довільних дискретних підстановок і :

, .

Добичею|добутком| підстановок і називається їх суперпозиція . Суперпозиція – це результат послідовного застосування|вживання| двох підстановок. Твір|добуток| двох приведених вище підстановок рівний

.

Для обчислення|підрахунку| результату був використаний наступний|такий| алгоритм. Перший по номеру елемент підстановки рівний 5. Тому звертаємося|обертаємося| до п'ятого по номеру елементу підстановки і бачимо, що він також рівний 5. Означає|значить|, перший елемент твору|добутку| буде рівний 5.

Другий елемент рівний 2. Тому звертаємося|обертаємося| до другого елементу і бачимо, що він рівний 1. Останнє значення приймаємо як другого елементу добичі|добутку| . Діючи аналогічним чином, одержуємо|отримуємо| всі останні елементи добичі|добутку|.

Як можна бачити, добич|добуток| підстановок також є|з'являється,являється| підстановкою. Добич|добуток| підстановок визначена для підстановок однакового розміру. Добич|добуток| підстановок в загальному|спільному| випадку не володіє властивістю комутативності, тобто|цебто|

.

Одинична|поодинока| (або тотожна) підстановка – це підстановка така, що . Наприклад:

.

Зворотна підстановка по відношенню до підстановки – це підстановка, що задовольняє співвідношенню:

. (5.7)

Таблицю зворотної підстановки можна одержати|отримати|, якщо просто поміняти місцями рядки таблиці початкової|вихідної| підстановки. Наприклад:

, .

Підстановки можна представляти|уявляти| в графічній формі, проводячи стрілки від кожного елементу до елементу .

Приклад|зразок| 5.6. Задана постановка

.

Графічне представлення цієї підстановки показане на мал. 5.2.

Мал. 5.2

У сучасній математиці операції, алгебри, застосовують не тільки|не лише| до скалярних чисел, але і до інших об'єктів. Наприклад, до матриць або підстановок. Безліч різних об'єктів, для яких визначені відповідні операції алгебри, називаються алгеброю в широкому сенсі|змісті,рації| цього слова. Якщо визначені чотири дії: складання, віднімання, множення і ділення|поділка,розподіл,поділ| – така алгебра називається полем.

Таким чином, звичайна|звична| алгебра (у вузькому сенсі|змісті,рації| цього слова) є|з'являється,являється| полем. Якщо операція ділення|поділки,розподілу,поділу| в алгебрі не визначена, така алгебра називається кільцем. Якщо визначена тільки|лише| одна операція, то алгебра називається групою. Причому, ця операція повинна володіти властивістю асоціативності:

,

сама алгебра повинна мати одиничний|поодинокий| елемент з|із| властивістю:

,

і для кожного об'єкту мати зворотний елемент :

.

Тепер ми можемо стверджувати, що безліч підстановок утворюють групу щодо|відносно| операції суперпозиції. Ця група називається симетричною ступеню|мірі| n.

Цикл – це послідовність елементів, така що

Цикл довжини 2 називається транспозицією.

Якщо прийняти угоду, що елементи верхнього рядка (аргументи) завжди розташовуються в певному порядку|ладі| (наприклад, за збільшенням), то верхній рядок можна не указувати|вказувати| – підстановка однозначно визначається нижнім рядком. Такі підстановки в один рядок називаються перестановками. Перестановку елементів позначатимемо |значитимемо|, де усі – різні числа з|із| діапазону .

Якщо в перестановці для елементів і має місце нерівність при, то пара називається інверсією. Позначимо – число інверсій в перестановці .

Теорема 5.5. Довільну підстановку можна представити|уявити| у вигляді суперпозиції транспозицій сусідніх елементів.

Доказ. Хай|нехай| . Переставимо 1 на перше місце, міняючи|змінюючи,замінюючи| її місцями з|із| сусідніми зліва|ліворуч| елементами. Позначимо послідовність цих транспозицій через . При цьому всі інверсії, в яких брала участь 1, пропадуть. Потім переставимо 2 на друге місце і т.д. Таким чином, і по властивості групи, причому .

Слідство|наслідок|. Всяке|усяке| сортування може бути виконане перестановкою сусідніх елементів.

Такий метод сортування відомий як бульбашковий метод. Цей метод простий, але|та| є|з'являється,являється| далеко не найефективнішим алгоритмом сортування.

Читайте також:

1. Метод підстановки

Переглядів: 3651