• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Основна теорема теорії похибок

У геодезичній практиці переважно використовуються не окремі безпосередньо зміряні величини, а їх функції, тобто непрямі вимірювання. Так, наприклад, нахил лінії визначають як відношення безпосередньо виміряного перевищення і довжини лінії. Довжина лінії, недоступної для безпосереднього вимірювання, обчислюється із розв’язання трикутника, у якого безпосередньо виміряні базисна сторона і горизонтальні кути. Площу земельної ділянки прямокутної форми обчислюють як добуток безпосередньо виміряної довжини і ширини ділянки. Перелік подібних прикладів можна продовжувати. Звідси виникає завдання оцінювання точності функції виміряних величин за відомими стандартами σ або средньоквадратичними похибками m безпосередньо виміряних аргументів. Для розв’язання цього завдання доведена теорема.

Теорема 4.1.Якщо певна безперервна функція, що диференціюється за всіма аргументами

(4.1)

аргументи якої x₁, x₂,…, x_t – незалежні результати безпосередніх вимірів певних величин X₁, X₂,…, X_t, виконаних в умовах, що характеризуються стандартами σ₁, σ₂,…, σ_t, то стандарт цієї функції буде дорівнювати

де – частинні похідні функції (4.1) за змінними x₁, x₂,…, x_t ,

Доказ. З курсу математичного аналізу відомо, що повний диференціал функції (4.1) дорівнює

n-я серія вимірювань

2-я серія вимірювань

1-я серія вимірювань

Рис. 4.1 – Графічна інтерпретація величин вимірів і їх похибок

Припустимо, що величини x₁, x₂,…, x_t виміряні n разів. При цьому результати вимірів містять випадкові похибки, які позначимо:

Наочно|наглядний| в графічній формі величини вимірів|вимірів| і їх похибки, ілюструються рис. 4.1.

Вважаючи, що похибки Δ_і є приростами величин х_і (малими величинами), то на підставі запису повного диференціала (4.3) можна записати систему рівнянь у частинних похідних, де кожне з рівнянь характеризує зміну похибок у серії вимірів величин x₁, x₂,…, x_t

… (4.4)

Відзначимо, що кожен елемент , ,…, , системи рівнянь має константу . Для того, щоб точно оцінити функції виміряних величин y = f (x₁, x₂,…, x_t) з використанням стандарту σ або середньоквадратичної похибки m (див. формулу 2.14 і 3.6) необхідно здійснити наступні перетворення з системою рівнянь (4.4). Звести у квадрат праві та ліві частини кожного з рівнянь. Отримаємо

… (4.5)

Тепер кожне з рівнянь є сумою квадратів. Для того, щоб привести праві частини рівнянь до вигляду відомих формул скороченого множення многочленів додамо до кожного рівняння суми добутків, що складаються з двох пар у кожному многочлені. Отримаємо

… (4.6)

Підсумуємо змінні лівої і правої частини|частки| отриманих|одержувати| многочленів і запишемо їх в символах Гаусса К.Ф.

… (4.7)

…

Розділимо отримані суми на n і запишемо остаточний вираз, що враховує всі змінні (похибки Δ_i) системи рівнянь (4.4)

Припускаючи, що n → ∞, знайдемо межі лівої і правої частини отриманого виразу. На основі властивості незалежності (2.13) маємо наступне:

Враховуючи властивість розсіювання (2.14) для правої і лівої частини|частки| рівняння (4.8) справедливо записати

Спростимо вираз (4.8), відкинувши подвійні суми , оскільки вираз (4.9) їх перетворює на нуль, і, застосовуючи до його лівої частини граничне значення формули (4.10), а до правої частини – граничні значення формули (4.11) і добувши з них квадратний корінь, отримаємо вираз (4.2), що і потрібно було довести.

4.2. Застосування|вживання| основної теореми для розрахунку гранично

допустимої нев'язки|нев'язки|

Розрахунок гранично допустимої кутової нев'язки|нев'язки| теодолитного| ходу

Вважатимемо, що всі кути виміряні теодолітом технічного класу точності в умовах, що характеризуються стандартом σ_β = 30'' і є равноточними. Відомо, що кутова нев'язка обчислюється за формулою

Де β₁, β₂,…, β_n – незалежні змінні величини; ∑β_теор – для цього ходу є величиною постійною.

Знайдемо частинні похідні функції (4.12) за змінними β_i:

Скористаємося формулою (4.2), що характеризує стандарт цієї функції, і, враховуючи отриману|одержувати| формулу (4.13), а також враховуючи обмеження, що усі виміри|виміри| рівноточні,| можна записати

Для розрахунку граничної нев'язки скористаємося виразом (3.10). Тоді для нашого випадку, де σ_β = 30'' гранично допустима кутова нев'язка теодолітного ходу розраховується за формулою:

Розрахунок гранично допустимої кутової нев'язки|нев'язки| нівелірного|нівелір| ходу

Припустимо, що нівелірний хід довжиною L км. прокладений на рівнинній місцевості, де на кожний кілометр ходу припадає приблизно однакова кількість станцій за середньої відстані між рейками на одній станції. Риска над буквою l позначає середнє значення відстані. Отже, кількість усіх станцій, які припадають на довжину ходу буде близьким до величини

Крім того, вимірювання на станції вважатимемо за равноточні, виконані в умовах, що характеризуються стандартом σ_ст.

Нев'язку|нев'язку| нівелірного|нівелір| ходу розраховують за формулою

де h₁, h₂,…, h_n як і у виразі (4.12) незалежні змінні ∑h_теор – постійна величина.

Знаходимо частинні похідні функції (4.16) за змінними h_i

За аналогією з розрахунком припустимої кутової нев'язки|нев'язки| теодолітного| ходу для розрахунку припустимої нев'язки|нев'язки| нівелірного|нівелір| ходу запишемо

Для розрахунку граничної нев'язки|нев'язки| нівелірного|нівелір| ходу скористаємося формулою (3.11). Тоді, враховуючи вираз|вираження| (4.15), отримаємо

Величини стандарту σ_ст для кожного класу нівелювання встановлені нормативними документами, тобто є постійними. Спростимо формулу (4.19), ввівши наступне позначення

і підставимо його у вираз|вираження| (4.19), отримаємо|одержуватимемо| відому з|із| геодезії формулу

де η – коефіцієнт, залежний від класу нівелювання. Для IV класу η = 20 мм, для технічного нівелювання η = 50 мм.

4.3. Апостеріорна оцінка точності функцій виміряних|виміряти| величин

На практиці при апостеріорній оцінці точності функції y = f (x₁, x₂,…, x_t) виміряних величин X₁, X₂,…, X_t невідомі стандарти σ₁, σ₂,…, σ_t у формулі (4.2) замінюють середніми квадратичними похибками m₁, m₂,…, m_t. Тоді

Розрахунки виконуються в наступній|слідуючій| послідовності:

1. Функцію (4.1) записують|занотовують| в явному вигляді|виді|;

2. Знаходять|находять| частинні похідні цієї функції за всіма незалежними змінними (похідні найпоширеніших функцій приведені в додатку В);

3. Підставляють частинні похідні і середні квадратичні похибки до формули (4.21);

4. Виконують необхідні математичні перетворення і отримують|одержують| остаточний результат.

Приклад 4.1. За відомими результатами вимірів: перевищенням h_AB=12,6м, довжиною проекції лінії АВ d_AB= 468 м і оцінками їх точності (середніми квадратичними похибками) m_h = 0,1 м і m_d = 0,5 м відповідно, необхідно знайти середню квадратичну похибку ухилу лінії АВ, схематично зображеної на рис. 4.2.

Рис. 4.2 – Графічна інтерпретація ухилу

Рішення. Використовуючи рекомендовану послідовність оцінювання точності виміряних величин, задамо в явному вигляді функцію виміру ухилу відому з геодезії i = tgυ, де . Підставляючи до формули чисельні значення, отримаємо

Другим кроком у розв’язанні поставленої задачі є знаходження частинних похідних функції за змінними h_AB і d_AB. Продиференціюємо цю функцію спочатку за змінною h_AB, зафіксувавши змінну d_AB, отримаємо , а після того за змінною d_AB зафіксувавши h_AB, .

На третьому кроці розв’язання поставленої задачі скористаємося формулою (4.21), перетворюючи її на формулу для обчислення середньоквадратичної |підрахунку|| похибки ухилу|уклону|. Формула (4.21) прийме вигляд:

На четвертому кроці розв’язання задачі до отриманої формули підставимо чисельні значення і зробимо відповідні обчислення, отримаємо m_i ≈ 0,0002.

Таким чином, завдання знаходження середньої квадратичної похибки ухилу за заданими апостеріорними оцінками розв’язане. Мала величина m_i свідчить про точне визначення ухилу заданої лінії.

Приклад 4.2. На топографічній карті виміряні прямокутні координати X і Y точок 1 і 2 (рис.4.3). Середні квадратичні похибки визначення координат точок дорівнюють . За координатами обчислені довжина d і дирекційний кут α лінії 1-2.

Необхідно визначити середні квадратичні похибки m_d і m_α.

, - похибка одного вимірювання|виміру| координат точки 2

Рис. 4.3 – Графічна інтерпретація багатократного вимірювання

координат двох точок

Розв’язання.З умов завдання видно, що обчислення довжини лінії d залежить від результатів вимірювання координат точок 1 і 2. Отже, змінними в цьому випадку є координати точок 1 (X₁; Y₁) та 2 (X₂; Y₂),

Візьмемо частинні похідні від d за змінними X₁ і X₂

Перетворимо вираз|вираження| (4.21) з урахуванням|з врахуванням| результатів диференціювання і рівності середніх квадратичних| похибок, заданих в умові завдання.|задачі| Запишемо

Перетворимо отриманий вираз і винесемо за знак радикала

Спростимо підкорінний вираз, використовуючи відому тригонометричну формулу cos²α + sin²α = 1. Тоді . Отримана формула для обчислення середньої квадратичної похибки вимірювання m_d довжини лінії d.

Для обчислення середньої квадратичної похибки m_α скористаємося тригонометричною функцією, яка пов'язує дирекційний кут із результатами вимірів координат точок 1 і 2. Така функція очевидна (рис.4.3) і має наступний вигляд:

Для зручності подальших|дальших| перетворень прологарифмуємо отриману|одержувати| функцію:

.

Обчислимо|обчислятимемо| похідну лівої частини|частки|, отриманого|одержувати| рівняння:

Знайдемо частинні похідні від α за змінними X₁, X₂

Проводячи|виробляти| перетворення з використанням формули (4.21) і спрощення аналогічні попередньому прикладу,|зразку| отримаємо|одержуватимемо|

Тут ρ – коефіцієнт переходу від міри радіану до градусного вимірювання ρ=3438 (кількість минут в одному радіані).

Таким чином, отримано дві прості формули за допомогою, яких можна обчислити значення середньої квадратичної похибки m_d вимірювання довжини лінії d, а також значення середньої квадратичної похибки m_α дирекційного кута α. Причому похибка дирекційного кута, обчисленого за координатами, обернено пропорційна довжині лінії.

Приклад 4.3. Виміряні довжина а = 59,85 м і b = 20,10 м земельної ділянки прямокутної форми з середньою квадратичною відносною похибкою 1:2000. (рис. 4.4).

Рис. 4.4 – Геометрична інтерпретація умов розв’язання задачі

Необхідно знайти площу|майдан| ділянки і середньоквадратичну| відносну похибку визначення площі|майдану|.

Розв’язання.Запишемо формулу обчислення площі земельної ділянки і обчислимо її за відомими даними.

З рис. 4.4 видно, що зміряні величини аі bє змінними і від точності їх вимірювання залежить точність обчислення площі земельної ділянки.

З метою спрощення обчислень прологарифмуємо отриманий вираз і знайдемо повний диференціал функції

Замінивши в отриманому|одержувати| виразі|вираженні| диференціали середніми квадратичними | похибками, враховуючи формулу (4.21) отримаємо

|одержуватимемо|За умовами завдання|задачі|

Підставимо отримане значення до формулу обчислення|підрахунку| середньої квадратичної | похибки, і знайдемо

За необхідності у процесі аналізу точності вимірів|вимірів| можна перейти до абсолютних похибок

Таким чином, знайдена площа|майдан| земельної ділянки і показники точності проведених вимірів|вимірів| (середні квадратичні| похибки вимірів|вимірів|). Отримані|одержувати| показники можуть бути покращені за рахунок вимірювання земельної|виміру| ділянки точнішими приладами, а також збільшенням кількості вимірів|вимірів|.

Розглянуті вище приклади приведуть до поняття «Надійність апостеріорної оцінки точності вимірів». Оцінка такої надійності пов'язана з певними труднощами, які зумовлені застосуванням спеціальної технології вимірів і використанням основної теореми теорії похибок. Технологія передбачає вимірювання кожної незалежної змінної декількома серіями і для кожної серії обчислення середньої квадратичної похибки m₁, m₂,…, mi,…, m_t а потім обчислення середньої квадратичної похибки всіх серій вимірів. Продиференціюємо функцію (4.21) за змінними . У результаті отримаємо

Використовуючи раніше отриманий вираз (3.14) підставимо його до виразу (4.22). Отримаємо залежність величини від кількості вимірів

де – кількість вимірів в i-й серії.

Таким чином, очевидно, що підвищення надійності апостеріорної оцінки точності вимірів|вимірів|, пов'язано з додатковими трудовими витратами з серійного вимірювання|виміру| кожного параметра (незалежною змінною).

Переглядів: 801