• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Історична довідка

Використаємо доведення теореми Лагранжа. Для цього розглянемо функцію

, (11.7)

де – невизначені множники – корелати, які пов’язують між собою умовні змінні .

Перетворимо функцію Ф в систему рівнянь, прирівнявши послідовно кожну складову формули (11.7) до нуля

,

а потім прирівняємо до нуля систему з рівнянь з невідомими. В скороченому вигляді можна записати:

.

Для складання функції Лагранжа помножимо (11.6) на невизначені множники . Отримані вирази підсумуємо і додамо до функції .

В результаті математичних перетворень отримаємо функцію

.

Знайдемо локальні мінімуми в цій функції. Для цього візьмемо часткові похідні за змінними і прирівняємо їх до нуля,

Із отриманої системи рівнянь знаходимо поправки , ,

,

,

Представимо отриману систему рівнянь в матричному вигляді:

або в скороченому вигляді

(11.8)

Із отриманого співвідношення видно, що для обчислення поправок до виміряних величин необхідно спочатку визначити матрицю К, яка являє собою вектор невизначених множників Лагранжа, тобто корелат …,

.

Підставимо матрицю із співвідношення (11.8) до формули (11.6) і отримаємо:

(11.9)

Введемо позначення

. (11.10)

На підставі співвідношення (11.9) і введеного позначення (11.10) можна записати:

. (11.11)

Отриманий вираз являє собою систему нормальних рівнянь, де кількість рівнянь r дорівнює кількості невідомих , .

Помножимо (11.10) слева на обратную матрицу , находим столбец коррелат

. (11.12)

Підставимо значення матриці Ку вираз (11.8), знайдемо стовпчик поправок V.

Контроль правильності перетворень здійснюють наступною процедурою. Помножимо вираз (11.8) зліва на транспоновану матрицю-рядок поправок . Отримаємо

.

Виконавши необхідні перетворення, знайдемо , але так як , то , що і підтверджує правильність перетворень.

Упорядкуємо розглянуті вище математичні перетворення і задамо строгий порядок процедур зрівнювання виміряних величин, пов’язаних умовами.

Процедура 1.Визначення кількості і виду умовних рівнянь в системі виміряних геодезичних величин.

Процедура 2. Складання умовних рівнянь з нев’язками , та їх обчислення.

Процедура 3. Приведення отриманих рівнянь до лінійного вигляду шляхом розкладення їх у ряд Тейлора (11.4 -11.6).

Процедура 4. Складання матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь корелат (11.10).

Процедура 5. Обчислення корелат , з рівняння (11.11).

Процедура 6. Визначення вірогідніших поправок підставленням корелат в рівняння (11.8).

Процедура 7. Контроль правильності виконаних математичних перетворень.

Таким чином, розглянута процедура знаходження умовного мінімуму методом найменших квадратів. Приведена послідовність розв’язання нормальних рівнянь корелат.

Переглядів: 449