• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 2

Тема:Аналіз концентрації, диференціації та подібності розподілів

Мета практичної роботи:Закріпити на навчальних ситуаціях теоретичний матеріал за темою лекції “Аналіз концентрації, диференціації та подібності розподілів ”.

Контрольні запитання:

1. Різновиди та характеристики форм розподілів.

2. Оцінка і аналіз нерівномірності розподілів.

3. Оцінка подібності двох розподілів.

Практичні заняття з теми передбачають:

За сформованою сукупністю визначити:

1. Коефіцієнт асиметрії.

2. Коефіцієнт локалізації та коефіцієнт децильної диференціації.

3. Коефіцієнт концентрації Лоренца. Побудувати криву Лоренца.

Методичні вказівки до теми:

Різноманітність статистичних сукупностей – передумова різних форм співвідношення частот і значень варіативної ознаки. За формою розподіли поділяються на одно-, дво- і багатовершинні. Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності, про поєднання в ній груп з різними рівнями ознаки. Розподіл якісно однорідних сукупностей, як правило, одновершинні. Серед одновершинних розподілів є симетричні та асиметричні(скошені), гостро- і плоско вершинні:

<0

>0

<0

Рис.5.1. Види розподілів

У симетричному розподілі рівновіддалені від центра значення ознаки мають однакові частоти, в асиметричному – вершина розподілу зміщена. Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини.Якщо вершина зміщена вліво, то ця асиметрія правостороння, і навпаки. Асиметрія виникає внаслідок обмеженої варіації в одному напрямі або за умови домінування причини розвитку, яка веде до зміщення центра розподілу.

Найпростішою мірою асиметричності розподілу є відхилення між характеристиками центра розподілу. Оскільки у симетричному розподілі , то чим помітніша асиметрія, тим більше відхилення ( ). За правосторонньої асиметрії > > , за лівосторонньої, навпаки, < < . Стандартне відхилення називають коефіцієнтом асиметрії (за Пірсоном) і визначають:

. (5.1)

В симетричному розподілі , у разі правосторонньої асиметрії >0, лівосторонньої <0. Коефіцієнт асиметрії може набувати значень від

-3 до +3.

Гостровершинність розподілу відображає скупченість значень ознаки навколо середньої величини і називається ексцесом.

Як узагальнені характеристики розподілу використовують моменти розподілу. Систему моментів розподілу розробив російський математик П.Л.Чейбишев. За допомогою невеликої їх кількості можна описати будь – який розподіл.

Момент розподілу – це середня арифметична k – го ступеня відхилень x-A:

, (5.2)

де, - момент k – го порядку; х – варіанта ряду; f – частота ряду; k і А – постійні числа.

Залежно від значення А загальна система моментів ділиться на три підсистеми:

1) за А=0 отримують первинні моменти:

; (5.3)

2) за - центральні:

(5.4)

3) за , де - деяка варіанта ряду, зазвичай близька до його середини, отримують умовні моменти

. (5.5)

Первинний момент першого порядку є середня арифметична: , другого –середній квадрат значень ознаки: ; центральний момент другого порядку характеризує варіацію: , тобто є дисперсією.

Якщо виразити первинні моменти через умовні, то отримаємо:

.

Тоді первинні моменти перших чотирьох порядків:

(5.6)

Якщо виразити центральні моменти через умовні, то:

. (5.7)

Звідси центральні моменти перших чотирьох порядків:

(5.8)

Центральні моменти третього і четвертого порядків використовуються для характеристики асиметрії та ексцесу розподілу.

Коефіцієнт асиметрії: . (5.9)

За правосторонньої асиметрії >0, за лівосторонньої <0. Тому правосторонню асиметрію називають додатною, а лівосторонню – від’ємною. Вважають, що якщо <0,25 – асиметрія низька, якщо не перевищує 0,5 – середня і якщо >0,5 – висока.

Для вимірювання ексцесу використовують коефіцієнт ексцесу:

. (5.10)

За гостро вершинного розподілу >0, за плосковершинного <0.

Оцінка нерівномірності розподілу значень ознаки між окремими складовими сукупностей ґрунтується на порівнянні часток двох розподілів – за кількістю елементів сукупності та за обсягом значень ознаки . Якщо розподіл значень ознаки рівномірний, то = . Відхилення часток свідчить про певну нерівномірність розподілу, яка вимірюється коефіцієнтами:

- локалізації: ; (5.11)

- концентрації: . (5.12)

Коефіцієнт локалізації розраховується длякожної j-ї складової сукупності. За рівномірного розподілу всі значення . У випадку концентрації значень ознаки в j – й складовій >1, і навпаки.

Коефіцієнт концентрації є узагальненою характеристикою відхилення розподілу від рівномірного. Значення його коливаються від 0 до 1; у рівномірному розподілі К=0, що помітніша концентрація, тим більше значення К відхиляється від 0.

Аналогічно побудований показник до коефіцієнта концентрації, який характеризує розподіл доходів між населенням країни чи регіону, називають коефіцієнтом Лоренца.

Цей розподіл доходів можна проілюструвати кривою Лоренца:

Мірою оцінки розшарування сукупності є коефіцієнт диференціації:

, (5.13)

де і - відповідно перший і дев’ятий децимі.

За аналогією з коефіцієнтом концентрації розраховують коефіцієнт подібності (схожості) структур двох об’єктів або одного об’єкта за двома ознаками:

. (5.14)

Якщо структури однакові, Р=1. Чим більші відхилення структур, тим меншим є значення коефіцієнта Р.

Нормальний розподіл близький до інших одновершинних розподілів. Він виражається формулою:

, (5.15)

де - щільність ймовірності в розподілі випадкової величини або відносна щільність розподілу, по відношенню до варіаційного ряду; х – варіанти; - їх середня арифметична; - середнє квадратичне відхилення; е і - математичні сталі.

Нормальний розподіл повністю визначається двома параметрами: і , тобто нормальні розподіли відрізняються між собою положенням на осі центра розподілу і розсіюванням варіант навколо цього центра.

Функція нормованого відхилення (нормальної кривої) нормального розподілу має вигляд: , (5.16)

де - функція нормованого відхилення; - відношення довжини кола до діаметра, яке становить 3,1416; - основа натуральних логарифмів, що дорівнює 2,71828; t – нормоване відхилення .

Існують таблиці значень для будь –яких значень t.

Побудова нормальної кривої за емпіричними даними здійснюється за формулою: , (5.17)

де - теоретична частота кожного інтервалу (групи) розподілу; і – крок (величина) інтервалу; - сума частот інтервалу; - середнє квадратичне відхилення; - функція нормованого відхилення.

Між теоретичними і фактичними частотами можуть виникати розбіжності. Вони можуть бути випадковими, або наслідком невідповідності теоретичної кривої реальному характеру розподілу.

Об’єктивну оцінку наближеності емпіричних частот до теоретичних можна отримати за допомогою критеріїв узгодження. Найчастіше застосовується критерій Пірсона.

Критерій Пірсона ( ) обчислюють за формулою:

, (5.18)

де і - відповідно емпіричні та теоретичні частоти j – ї групи; m – кількість груп у ряді розподілу.

Для оцінки подібності емпіричного розподілу до теоретичного визначають ймовірність досягнення даної величини при випадкових відхиленнях частот. Якщо >0,05 то відхилення фактичних частот від теоретичних можна вважати випадковими, якщо <0,05 то відхилення не можна вважати випадковими, а емпіричний розподіл є принципово відмінним від розрахованого теоретичного.

Таблиці ймовірностей певних значень розраховані для різної кількості ступенів вільності варіювання емпіричного ряду частот. При цьому кількість ступенів вільності k визначається:

, (5.19)

де m – кількість груп у сукупності; r – кількість параметрів функції теоретичного розподілу. Для нормального розподілу r = 2; k = m -3.

Розподіл Пуассона називають розподілом рідкісних явищ або малоймовірних подій. Він виражається формулою:

, (5.20)

де - щільність ймовірності в розподілі випадкової величини; - середня кількість появи подій А в n однакових незалежних дослідах; m – частота події А.

Побудова розподілу Пуасона за емпіричними даними практично не відрізняється від побудови нормального розподілу. На основі емпіричного розподілу визначають . Теоретичні частоти розраховують:

, (5.21)

де і – інтервал; - сума частот; m – номер інтервалу (починаючи з m=0), - його середня арифметична.

Типові задачі:

1. Інтервальний ряд розподілу за зростом 50 студентів має вигляд:

Таблиця 5.1

Розподіл студентів за зростом

Розрахувати показники характеристики форм та подібності розподілів.

Розв’язання:

Розрахуємо коефіцієнт асиметрії за Пірсоном: .

Для цього розрахуємо

.

(см).

.

(cм.)

Отже, , що свідчить про незначну правосторонню асиметрію розподілу.

Знайдемо первинні моменти перших чотирьох порядків. Для цього складемо таблицю:

Таблиця 5.2

Допоміжні обчислення для спрощення розрахунків моментів розподілу

Зріст, см	Кількість студентів, осіб, f	Середини інтервалів, x
160 -165		162,5	-3	-9		-81
165 -170		167,5	-2	-14		-56
170 - 175		172,5	-1	-16		-16
175 - 180		177,5
180 - 185		182,5
185 -190		187,5
190 -195		192,5
Разом		х	х	-18		-66

Умовні моменти: .

Первинні моменти перших чотирьох порядків:

Центральні моменти перших чотирьох порядків:

Звідси,

Отже, розподіл студентів за зростом є плоско вершинним і характеризується середньою правосторонньою (додатною) асиметрією.

Теоретичні частоти нормального розподілу студентів за зростом відображені в табл. 5.3.

Таблиця 5.3

Розрахунок теоретичних частот нормального розподілу студентів за зростом

Зріст, см	Кількість студентів, осіб, f	Середини інтервалів, x
160 -165		162,5	-13,2	-1,83	0,0748
165 -170		167,5	-8,2	-1,14	0,2083
170 - 175		172,5	-3,2	-0,44	0,3621
175 - 180		177,5	1,8	0,25	0,3867
180 - 185		182,5	6,8	0,95	0,2541
185 -190		187,5	11,8	1,64	0,1040
190 -195		192,5	16,8	2,34	0,0258
Разом		х	х	х	х

Як видно з порівняння отриманих і фактичних частот , розбіжності між ними порівняно незначні. Такі розбіжності можуть бути або випадковими або наслідком невідповідності теоретичної кривої реальному характеру розподілу.

Визначимо критерій Пірсона:

Таблиця 5.4

Розрахунок критерію Пірсона:

Зріст, см	Кількість студентів, осіб
фактична f	теоретична
160 -165
165 -170
170 - 175				0,69
175 - 180			-3	0,69
180 - 185
185 -190			-1	0,25
190 -195
Разом			х	2,63

Звідси, =2,63; k=7-3=4.

За таблицею ймовірностей .

Отже, відхилення фактичних частот від теоретичних можна вважати випадковим, а сам розподіл студентів за зростом – подібним до нормального.

2.За наведеними даними визначити коефіцієнти концентрації та локалізації.

Таблиця 5.5

Дані про вартість реалізації продукції фермерськими господарствами району

Складемо розрахункову таблицю:

Таблиця 5.6

Розрахункова таблиця

Вартість реалізованої продукції, тис.грн	% до підсумку
кількості ферм	вартості реалізованої продукції
До 20			0,17
20 – 50			0,28
50 – 100			0,52
100 – 200			1,12
200 – 400			2,87
400 і більше			8,00
Разом			х

Коефіцієнт концентрації: = , що свідчить про відносно високий рівень концентрації товарного сільськогосподарського виробництва у фермерських господарствах. Обсяги товарної продукції концентруються у великих господарствах в останній групі (L=8,00).

Завдання для самостійної роботи:

1.Використовуючи характеристики центра розподілу, сформулюйте висновки відносно наявності, напряму і ступеня асиметрії розподілу сімей в області за розміром:

2.За наведеними в таблиці даними, визначте коефіцієнт концентрації виробництва та робочої сили на спільних підприємствах і побудуйте графік концентрації Лоренца. Сформулюйте висновки.

3.За наведеними даними обчисліть коефіцієнти галузевої локалізації експорту. Сформулюйте висновки.

4.Розподіл вкладів громадян за їх розміром в одному з відділень Ощадбанку характеризуються даними:

Застосувавши функцію нормального розподілу, обчисліть теоретичні частоти і за допомогою критерію узгодження Пірсона перевірте подібність емпіричного розподілу до теоретичного з імовірністю 0,95. Сформулюйте висновки.

Література: основна [1-3, 7]

додаткова [ 5, 8, 9]

ПРАКТИЧНА РОБОТА №3

Тема:Статистичні методи вимірювання взаємозв’язків

Мета практичної роботи:Закріпити на навчальних ситуаціях теоретичний матеріал за темою лекції “ Статистичні методи вимірювання взаємозв’язків ”.

Контрольні запитання:

1. Види зв’язків між явищами. Суть стохастичної та кореляційної залежностей.

2. Модель аналітичного групування. Теоретичне обґрунтування моделі.

3. Оцінка лінії регресії. Вимірювання щільності зв’язку. Перевірка істотності зв’язку.

Практичні заняття з теми передбачають:

1. Побудувати модель аналітичного групування на підставі первинних

не згрупованих даних, а також даних комбінаційного розподілу.

Визначити оцінки лінії регресії та ефекти впливу.

2. Визначити дисперсії результативної ознаки, скориставшись правилом

розкладання дисперсії.

3. Оцінити щільність зв’язку за даними моделі аналітичного групування

та перевірити істотність зв’язку.

Методичні вказівки до теми:

Метод аналітичних групувань полягає у тому, що спочатку оби­рають факторну ознаку і результативну, потім проводять гру­пування за факторною ознакою та обчислення середніх у кож­ній групі за результативною ознакою. Зіставленням характеру зміни факторної та результативної ознак можна дійти висновку про наявність зв'язку, його напрям та тісноту..

Кореляційний метод застосовується для вимірювання тісноти (щільності) зв'язків між ознаками за допомогою спеціальних співвідношень, що базуються на правилі додавання дисперсій. Ці співвідношення можна обчислити для кількісних ознак. Числові характеристики кореляційного зв'язку: кореляційне відношення; індекс кореляції; лінійний коефіцієнт кореляції.

Кореляційне відношення показує питому вагу міжгрупової дис­персії у загальній дисперсії, тобто визначає, наскільки тісний зв'язок факторної ознаки, за якою проводилося групування, та результативної ознаки.

Його позначають малою грецькою буквою — («тета») і об­числюють за формулою: , (6.1)

де - міжгрупова дисперсія; - - загальна дисперсія.

Кореляційне відношення змінюється від 0 до 1.

Чим ближче до 1, тим зв'язок між ознаками тісніший.

Індекс кореляції визначають зіставленням внутрішньогрупової дисперсії та загальної, позначають буквою R і обчислюють за формулою:

, (6.2)

де - внутрішньо групова дисперсія; - загальна дисперсія.

Чим Rближче до 1, тим тісніший зв'язок між ознаками.

Лінійний коефіцієнт кореляції використовують для вимірюва­ння тісноти прямолінійних зв'язків.

Мірою тісноти зв'язку як лінійного, так і нелінійного є коефіцієнт детермінації R²— співвідношення факторної і загальної дисперсії:

де (6.4)

Корінь квадратний з коефіцієнта детермінації є індекс кореляції R

У кореляційно-регресійному аналізі істотність зв'язку перевіряється так само, як і в аналітичному групуванні за допомогою R² чи F-критерія:

(6.5)

В основі кореляційно-регресійного аналізу лежить припущення, що залежність між факторною і результативною ознаками може бути виражена функцією У=f[х), яка називається рівнянням регресії.

Рівняння регресії— аналітичне рівняння, за допомогою якого можна виразити зв'язок між ознаками. Тобто це економіко-схематична модель залежності результативної ознаки від фактор­ної. Графіком рівняння регресії є лінія регресії, яка описує коре­ляційний зв'язок. При побудові графіка значення факторної ознаки відкладаються на горизонтальній осі (ОХ), а результа­тивної — на вертикальній (ОУ).

За аналітичним виразом залежність може бути лінійною і не­лінійною. Найбільш поширені такі рівняння регресії:

де Y — теоретичні значення результативної ознаки; а, bі с — параметри рівняння регресії, які називаються коефіцієнтами регресії.

На першому етапі кореляційно-регресійного аналізу при обґрунтуванні моделі, як і в аналітичному групуванні, розв'язуються два пи­тання: вибір факторної і результативної ознаки та вибір виду рівняння регресії.

Правильний вибір ознак і виду рівняння регресії потребує теоре­тичного аналізу взаємозв'язку. Для підтвердження правильності вибору виду рівняння регресії часто застосовується графічне зображення зв'язку у вигляді кореляційного поля.При його побудові на осі абсцис треба відкласти значення факторної ознаки х, а на осі ординат — результа­тивної ознаки у. Кожній одиниці сукупності на графіку відповідає окре­ма точка. За формою розміщення точок на кореляційному полі робиться висновок відносно виду регресійного рівняння. При великому обсязі су­купності доцільно на графіку зображати групові середні попередньо по­будованого аналітичного групування. Лінію групових середніх назива­ють емпіричною лінією регресії.

Для визначення виду рівняння регресії застосовується також спосіб перебору функцій, коли обчислюють рівняння регресії різних видів і з них на основі статистико-математичних критеріїв вибирають найкраще.

На етапі оцінки лінії регресії визначають параметри обраного рівняння методом найменших квадратів на основі побудови і розв'язку відповідної системи нормальних рівнянь. Лінійній функції відповідає система таких рівнянь з двома невідомими:

(6.6)

Особливу увагу слід звернути на інтерпретацію параметрів лінійного рівняння регресії а і b. Параметр b показує на скільки одиниць власного виміру змінюється середнє значення результативної ознаки зі збільшенням факторної ознаки на одиницю власного вимірювання. Па­раметр а — теоретичне значення Y для х=0.

Типова задача:

За допомогою методу кореляційно – регресійного аналізу визначити наявність і характер зв'язку між віком устаткування і витратами на ремонт. За даними таблиці обчислимо параметри:

а₀ =(27*536-217,1*70) / (10*536 – 70*70) = - 1,576

а₁ =(10*217,1 - 27*70) / (10*536 – 70*70) = 0,611

Таким чином, зв'язок між віком устаткування і витратами на ремонт прямий. Лінійне рівняння регресії буде мати вид:

У= -1,576+0,611х.

Розрахуємо теоретичні значення Yпідставивши значення х у рівняння регресії та запишемо їх в таблицю 6.1.

Таблиця 6.1.

Вік устаткування і витрати на ремонт по групі підприємств

№ п/п	Вік устатку- вання років, х	Витрати на ремонт тис.грн., у		xy	Y	(yi-Yi)2
		1,5		6,0	0,868	0,399	1,440
		2,0		10,0	1,479	0,271	0,490
	5	1,4		7,0	1,479	0,006	1,690
	6	2,3		13,8	2,090	0,044	0,160
		2,7		21,6	3,312	0,374	0,000
		4,0		40,0	3,312	0,285	1,690
		2,3		18,4	4,534	1,024	0,160
		2,5		17,5	2,700	0,040	0,040
		6,6		72,6	5,145	2,117	15,210
		1,7		10,2	2,090	0,152	1,000
Разом		27,0		217,1	27,010	4,712	21,920

Залишкова дисперсія дорівнює:

Загальна дисперсія:

Тоді факторна дисперсія розрахується на основі правила додавання дисперсій:

Коефіцієнт детермінації буде дорівнювати.

(або 78,5% загальної варіації витрат на ремонт залежить від віку устаткування).

Розрахуємо коефіцієнт кореляції:

Це значить, що між віком устаткування і витратами на ремонт існує прямий зв'язок.

Перевіримо істотність коефіцієнта кореляції за допомогою таблиці критичних значень. Для цього розрахуємоK₁=m-1=2-1=1; K₂=n-m=10-2=8. Коефіцієнт буде істотним, якщо він перевищить відповідне табличне значення. Перевіримо істотність коефіцієнта за допомогою F-критерія:

При α=0.01 F(1,8)=11.26. Це менше фактичного значення (54.6). Отже, коефіцієнт кореляції істотний і відбиває зв'язок між віком устаткування і витратами на ремонт.

Завдання для самостійної роботи:

1.Наведено дані про показники діяльності підприємств.:

Таблиця 6.2

Показники діяльності підприємств

1. Описати лінійний зв'язок між вартістю основних виробничих фондів та випуском продукції.
2. Оцінити щільність зв’язку між вартістю основних виробничих фондів та випуском валової продукції.
3. Перевірити істотність зв’язку.

2.У таблиці наведено банківські депозити по різних видах вкладів:

Таблиця 6.3

Банківські депозити по різних видах вкладів

За наведеними даними:

1) складіть аналітичне групування;

2) обґрунтуйте наявність зв’язків між величиною депозитної ставки та видом вкладу;

3) обчисліть загальну та між групову дисперсії, а також групові та середню з групових дисперсій. Розкрийте їх взаємозв’язок;

4) використовуючи кореляційне відношення, оцініть щільність зв’язку між зазначеними ознаками, перевірте істотність зв’язку з імовірністю 0,95, зробіть висновки.

3.Затримка літаків в аеропорті через метеорологічні умови характеризується даними:

Таблиця 6.4

Показники затримки літаків в аеропорті

Визначіть між групову та середню з групових дисперсій затримки літаків, коли відомо, що загальна дисперсія дорівнює 10. Оцініть щільність зв’язку та перевірте його на істотність з імовірністю 0,95.

Література: основна [1-4, 7]

додаткова [3, 7 -9]

Переглядів: 1218