Новини освіти і науки:

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Багатогранний кут

Многогранник– це таке тіло, поверхня якого складається із скінченої кількості плоских многокутників. Многогранник називається опуклим,якщо він лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників на його поверхні. Спільна частина такої площини і поверхні опуклого многогранника називається гранню. Грані опуклого многогранника є плоскими опуклими многокутниками. Сторони граней називаються ребрами многогранника,а вершини – вершинами многогранника. Найпростішими многогранниками є призма (паралелепіпед, куб, піраміда.)

Многогранники

вершини

ребра

грань

Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многогранниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника збігається одне й те ж саме число ребер.

Типи правильних многогранників
Назва	Зображення	Вид грані	Число
граней	вершин	ребер
Тетраедр
Гексаедр (куб)
Октаедр
Додекаедр
Ікосаедр

Правильні многокутники

Трикутник

Співвідношення між

Площа

а і R, а –сторона, R- радіус описаного кола

R і r, r – радіус вписаного кола

R = 2r

S =

Квадрат

R = r

S = a²

Шестикутник

a = R

r =

S =

Площа многокутників та круга

Трикутник

Довільний

S =

; S =

, р=

- формула Герона; S= pr; S=

Прямокутний

S =

Рівносторонній

S =

Паралелограм

S = ah_а; S =

; S =

Прямокутник

S = ab

Квадрат

S = a²

Трапеція

S =

; S =

Коло

S = πR²

Метричні співвідношення

Прямокутний трикутник b=c×sinβ =a×tgβ = c×cosa = a×ctga a= c×cosβ = b×ctgβ= c×sina= b×tga теорема Піфагора: a² +b²=c²

Наслідки

AC²=AD×AB;

CB²=DB×AB

CD²= AD×DB;

CD= AC×CB: AB

Трикутник Теорема синусів

Теорема косинусів

Паралелограм

АЕ² + ВС² = 2(АВ² + ВЕ²)

Теорема Птоломея

AC×BD=AB×CD+BC×AD

Призма

Призмоюназивається многогранник, який складається з двох плоских многокутників, які лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників. Многокутники називаються основами призми,а відрізки, які сполучають відповідні вершини, - бічними ребрами призми. Висотою призминазивається відстань між площинами її основ. Відрізок який сполучає дві вершини призми, що не належать одній грані, називається діагоналлю призми.

Похила Якщо бічні ребра призми нахилені до основи під кутом - призма називається похилоюі її бічні грані – паралелограми.

Пряма Призма називається прямою,якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. Бічні грані прямої призми – прямокутники.

Трикутна призма Шестикутна призма перпендикулярний переріз

П’ятикутна Трикутна Чотирикутна

Пряма призма називається правильною , якщо її основи є правильнимимногокутниками

А₁

Якщо основою призми є паралелограм, то вона називається паралелепіпедом.

У паралелепіпеда всі грані паралелограми. Протилежні грані паралельні і рівні.

Всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Точка перетину діагоналей - центр симетрії. Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх ребер:

d₁²+ d₂²+ d₃²+ d₄² = 4a² +4b²+4c²

Прямий паралелепіпед: Бічні ребра перпендикулярні до основ. Бічні грані - прямокутники, а основи – паралелограми.

Прямокутний паралелепіпед: Бічні грані - прямокутники. Всі діагоналі рівні. d^{2 =} a² + b² + c² S_повн. = 2(ab+dc+ac) V = a b c

Куб: Всі грані - квадрати. Всі ребра рівні. d =

a S_повн. = 6a² V = a³

Площа поверхні та об’єм призми

Похила призма

Пряма призма

Бічна поверхня

S_осн.= P_пер. × l, Р_осн. - периметр перпендикулярного перерізу; l – довжина бічного ребра.

S_біч.= P_осн. ×Н, Р_осн. - периметр основи; Н – висота.

Повна поверхня

S_повн.= S_біч. + 2S_осн.

S_повн.= S_біч.+ 2S_осн.

Об’єм

V = S_пер.× l, l – бічне ребро

V = S_осн.× Н

Піраміда

Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника - основи пірамідиі всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами. Бічні грані– трикутники.

Висотою пірамідиназивається перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину

висота

верхня основа

основи.

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром цього многокутника. Віссюправильної піраміди називається пряма (SO), яка містить її висоту. Бічні ребра рівні, бічні грані - рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою (SF)й позначаєтьсяl.

Зрізаною пірамідоюназивається частина піраміди, яка міститься між її основою і перерізом піраміди, яке паралельне основі. Правильназрізана піраміда: бічні грані - рівні рівнобічні

трапеції.

нижня основа

Бічні ребра рівні.

Апофеми рівні.

Площі поверхні і об’єм піраміди

Піраміда

Зрізана піраміда

Бічна поверхня

S_біч.=

, S_i – площа однієї бічної грані, n – кількість сторін основи Правильна піраміда S_біч.=

Р× l , Р- периметр основи, l - апофема

S_біч.=

, S_k – площа k-тої бічної грані (трапеції), n – кількість сторін основи Правильна зрізана піраміда S_біч.=

(Р+р), Р- периметр нижньої основи, р – периметр верхньої основи

Повна поверхня

S_повн.= S_біч. + S_осн.

S_повн.= S + S +s, S- площа нижньої основи, s – площа верхньої основи

Об’єм

V =

Н ×S_осн.

V =

Н ×(S +

+ s)

Тіла обертання
Циліндр Круговим циліндром називається тіло, що складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів. Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають точки кіл кругів, -твірними циліндра Утворений обертанням прямокутника навколо однієї з своїх сторін	Конус Круговим конусом називається тіло, яке складається з круга - основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга - вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершини конуса з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи, називаються твірними конуса (l). Утворений обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів	Зрізаний конус Зрізаним конусом називається частина конуса, яка лежить між основою і перерізом, паралельним основі конуса. Утворений обертанням прямокутної трапеції навколо перпендикулярної до основ бічної сторони	Куля. Сфера. Кулею називається тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на відстані, не більшій за дану. Ця точка називається центром кулі, а дана, відстань - радіусом кулі. Сфера є поверхнеюкулі. Утворена обертанням півкола наколо діаметра
Частини кулі
Кульовий сектр Кульовий сегмент a²=h(2R-h)
Площа поверхні та об’єм тіл обертання
	Циліндр	Конус	Зрізаний конус	Куля. Сфера	Кульовий сегмент	Кульовий спектр
Бічна поверхня	S_біч. = 2pRH	S_біч. = pRl	S_біч. = p(R+r)l	-	S_біч. = 2pRH=p(а²+Н²)	-
Повна поверхня	S_біч. = 2pR(R+H)	S_біч. = pR(R+l)	S_біч. = p(R+r)l +p(R²+r²)	S = 4pR²
Об’єм	V = pR² H	V = pR² H	V = pH (R²+Rr+r²)	V = pR³

Координати в просторі

Нехай х, у, z — три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в точці О. Ці координатні прямі називаютьсякоординатними осями: вісьх, вісь у, вісь z або вісь абсцис, вісь ординат, вісь аплікат відповідно, точку О називаютьпочатком координат. Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі — додатну, позначену стрілкою, і від'ємну. Площини, які проходять через х і у, х і z, у і z, називають координатними площинами і позначають відповідно: ху, хz, уz. Координатні площини розбивають весь простір на вісім частин, які називають октантами. Відстань між двома точкамиА (X_A; Y_A; Z_A) i B (X_B; Y_B; Z_B) обчислюється за формулою:

Координати середини відрізкаточки С (X_с; Y_с; Z_с) - середини відрізка АВ:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.	\|	Перетворення симетрії в просторі

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.016 сек.