• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

ЛЕКЦІЯ 8

Неповний, наближений опис довільного числа випадкових величин також може бути виконаний за допомогою числових характеристик. Мінімальна кількість характеристик, за допомогою якої може бути охарактеризована система випадкових величин , включає:

1. математичних сподівань , що характеризують середні значення випадкових величин ;

2. дисперсій , що характеризують розсіювання випадкових величин ;

3. кореляційних моментів , що характеризують попарну кореляцію всіх величин, які входять у систему.

Сукупність всіх кореляційних моментів складає кореляційну матрицю системи. Для випадкових величин вона має вигляд

.

Елементи головної діагоналі цієї матриці, що представляють собою кореляційні моменти величини й тієї ж величини , дорівнюють дисперсіям випадкових величин

.

Елементи кореляційної матриці, які розташовані симетрично стосовно головної діагоналі, попарно рівні, тому що з визначення кореляційного моменту слідує, що .

Якщо випадкові величини не є корельованими, то всі елементи кореляційної матриці, крім діагональних, будуть дорівнювати нулю.

Таким чином, для наближеного опису системи випадкових величин необхідно мати у своєму розпорядженні значення математичних сподівань і кореляційну матрицю системи.

Приведемо найбільш важливі теореми про числові характеристики системи випадкових величин.

1. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їхніх математичних сподівань

. (27)

Доказ. Нехай система дискретних випадкових величин. Тоді

.

Сума є ймовірністю того, що величина прийме значення , тобто . Тому

.

Аналогічно

.

Таким чином, теорему для дискретних випадкових величин доведено. Її доказ для неперервних випадкових величин цілком аналогічний.

Теорема додавання математичних сподівань узагальнюється на довільне число доданків

.

2. Дисперсія суми двох випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин і їх подвоєного кореляційного моменту

. (28)

Доказ. Позначимо . По теоремі додавання математичних сподівань . Віднімаючи з рівності рівність , перейдемо від випадкових величин до відповідних центрованих випадкових величин . По визначенню дисперсії

що й було потрібно довести.

Формула (28) може бути узагальнена на будь-яку кількість доданків

,

де кореляційний момент величин , ; знак під знаком суми означає, що підсумовування поширюється на всі можливі попарні сполучення випадкових величин .

Якщо всі випадкові величини , що входять у систему, некорельовані ( 0 при ), тоді

.

3. Математичне сподівання добутку двох випадкових величин дорівнює сумі добутку їхніх математичних сподівань і кореляційного моменту

. (29)

Доказ. Кореляційний момент по визначенню дорівнює

.

Використовуючи властивості математичного сподівання, отримаємо

,

що й було потрібно довести.

Математичне сподівання добутку двох некорельованих ( 0) випадкових величин дорівнює добутку їхніх математичних сподівань

.

Для довільної множини незалежних випадкових величин справедливо

.

4. Дисперсія добутку двох незалежних випадкових величин

. (30)

Доказ. Позначимо . По визначенню дисперсії

.

Величини незалежні, тому й

.

З урахуванням незалежності

, ,

. (31)

Другі початкові моменти виражаються через дисперсію

, .

Підставивши ці вирази в (31) і привівши подібні, отримуємо (30).

Дисперсія добутку незалежних центрованих випадкових величин дорівнює добутку їхніх дисперсій

.

5. Математичне сподівання лінійної функції дорівнює тієї ж лінійної функції від математичних сподівань аргументів

, (32)

де невипадкові коефіцієнти.

Доказ. Користуючись теоремою додавання математичних сподівань, отримуємо

.

6. Дисперсія лінійної функції виражається формулою

, (33)

де кореляційний момент величин .

Доказ. Введемо позначення , тоді

.

Застосовуючи формулу для дисперсії суми й з огляду на те, що 0, маємо

, (34)

де кореляційний момент величин , що дорівнює .

Оскільки і, відповідно , то

.

Підставляючи вираз для в (34), приходимо до (33). У випадку, коли всі величини , що входять у систему, некорельовані ( 0 при ), формула (33) набуває вид

.

Переглядів: 525