Залежність між неперервністю і диференційованістю функції

Функція у = f (x) є неперервною в точці х, якщо у цій точці .

Означення 3. Функція у = f (x) називається диференційованою в точці, якщо у цій точці вона має похідну, тобто якщо існує кінцева границя:

Означення 4. Функція у = f (x) називається диференційованою на інтервалі (а; b), якщо вона диференційована в кожній точці даного інтервалу.

Зв’язок між неперервністю і диференційованістю функції встановлює теорема.

Теорема. Якщо функція диференційована в деякій точці, то у цій точці функція неперервна.

Обернене твердження неправильне: для неперервної функції може не існувати похідної.

Справді, нехай функція диференційована в точці . Запишемо тотожність , звідси

Таким чином, функція неперервна в точці .

Наслідок.Якщо функція розривна в деякій точці, то вона не має похідної в цій точці.

Прикладом неперервної функції, що не має похідної в одній точці, є функція (рис.5). Ця функція неперервна при х = 0, але не диференційована для цього значення, оскільки в точці з абсцисою х = 0 не існує дотичної до графіка функції.

Рис. 5

Таким чином, необхідною умовою диференційованості функції у=f(х) у точці х є її неперервність у цій точці.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Рівняння дотичної і нормалі до плоскої кривої	\|	Основні правила диференціювання

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.