• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Поняття числової послідовності та її границі

ЛЕКЦІЯ 2. Границя числової послідовності

ПЛАН

1. Поняття числової послідовності та її границі

2. Загальні властивості збіжних послідовностей

3. Нескінченно мала величина та її властивості

4.Нескінченно велика величина. Зв’язок між нескінченно великою і нескінченно малою величинами

5. Граничний перехід при арифметичних операціях

6. Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей

7. Число е

Поняття числової послідовності та її границі

Означення. Числова функція , область визначення якої є множина натурального ряду чисел, називається числовою послідовністю, або просто послідовністю, і позначається , надалі писатимемо

Значення називаються членами послідовності. Послідовність вважається заданою, якщо задано n-й член послідовності.

Приклад. Записати три перші члени послідовності . Маємо

Означення. Число а називається границею послідовності , якщо для будь-якого , яке б мале воно не було, існує номер N такий, що для всіх номерів виконується нерівність .

Позначення або .

Для стислого запису означення границі використаємо квантори: " — для будь-якого, будь-який; $ — існує, знайдеться; := дорівнює за означенням, означає. Тоді означення границі послідовності за допомогою цих символів запишеться так:

Розглянемо геометричну інтерпретацію границі послідовності. На числовій осі побудуємо e-окіл числа а, тобто інтервал (а – e; а + e), і покажемо, як розміщуватимуться точки, які відповідають членам послідовності , при (рис. 1).

Рис. 1

Означення. Число а називається границею послідовності x_n, якщо для будь-якого e-околу точки а існує номер N такий, що, починаючи з номерів , усі члени послідовності перебувають в e-околі точки а (див. рис. 1).

Означення. Послідовність називається збіжною, якщо вона має границю (скінченну). Послідовність, яка не має границі, називається розбіжною.

Приклад. Довести за означенням, що .

Зауважимо, що n-й член послідовності ; сама послідовність така: . Для доведення потрібно за заданим знайти номер послідовності N,такий, що при всіх номерах виконуватиметься нерівність . Розв’яжемо останню нерівність відносно n:

Символом позначено цілу частину числа .

Виберемо . Тоді при нерівність виконується, а отже, виконується і нерівність , чим доведено, що Отже, для доведення за означенням певної границі послідовності досить побудувати функціональну залежність N від числа e, тобто знайти функцію N(e). У розглянутому прикладі функ­ція , і за заданим будь-яким завжди можна знайти відповідний номер N; наприклад при , при нерівність виконується.

2. Загальні властивості збіжних послідовностей

Теорема 1. (Єдиність границі послідовності). Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Теорема 2. (Необхідна умова збіжності послідовності). Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Теорема 3. Якщо , то існує такий но­мер N, що при всіх виконується нерівність .

Приклад. Послідовність у розгорнутому вигляді така: . Для номерів усі члени послідовності будуть менші за 2.

Теорема 4. Границя сталої величини дорівнює сталій, тобто

Переглядів: 2205