• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Нескінченно мала величина та її властивості

Означення. Послідовність називається нескінченно малою величиною (н. м. в.), якщо .

Приклад. — н.м.в., бо .

Теорема 1. Сума двох н.м.в. є н. м. в.

Наслідок. Алгебраїчна сума скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на н.м.в. є н.м.в.

Приклад. Обчислити . Послідовність — н.м.в., бо є добутком обмеженої величини і н.м.в. .

Таким чином, за теоремою 2 .

Теорема 3. Добуток двох н.м.в. є н.м.в.

Наслідок. Добуток скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.

Теорема 4. Для існування границі а послідовності x_n необхідно і достатньо, щоб послідовність була н.м.в.

Наслідок. Якщо , то , де — н.м.в.

4. Нескінченно велика величина. Зв’язок між нескінченно великою і нескінченно малою величинами

Означення. Послідовність x_n називається нескінченно великою величиною (н.в.в.), якщо для будь-якого числа , яке б велике воно не було, існує номер N,такий, що при всіх виконується нерівність .

Якщо члени н.в.в., починаючи з деякого номера, всі додатні, то позначають якщо від’ємні, то — а якщо різних знаків, то —

Наприклад:

1)

2)

3)

Аналітичною мовою означення н.в.в. виглядає так:

За своїм означенням, н.в.в. — необмежена, але не кожна необмежена величина є н.в.в., наприклад послідовність 1, 0, 3, 0, 5, 0, ... з членом – величина необмежена, але н.в.в. не буде. Справді, не всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера, будуть як завгодно великими.

Теорема. Зв’язок між н.в.в. і н.м.в.

1. Якщо — н.м.в. і , то обернена до неї послідовність буде н.в.в., і навпаки.

2. Якщо y_n — н.в.в., то обернена до неї — н.м.в.

5. Граничний перехід при арифметичних операціях

Теорема. Якщо існують границі , то:

1)

2)

3)

За допомогою теореми можна виконувати граничний перехід при арифметичних операціях з послідовностями, але тільки в тих випадках, коли послідовності збіжні.

Приклад. .

На практиці такі докладні записи граничного переходу виконують рідко; як правило, граничний перехід при арифметичних операціях виконується усно.

Якщо умови теореми порушуються, то вираз під знаком границі спочатку перетворюють таким чином, щоб арифметичні дії виконувалися зі збіжними послідовностями, а потім виконують граничний перехід.

Приклад.

6. Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей

Теорема 1. (Граничний перехід у нерівності).

Якщо для будь-якого n виконується нерівність і — збіжні, то .

Теорема 2. (Про границю затисненої послідовності). Якщо для будь-якого n і , то

Приклад.

Теорема 3. (Вейєрштрасса). Про границю монотонної й обмеженої послідовності:

1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна;

Переглядів: 1191