• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Нескінченно мала величина та її властивості

Означення. Послідовність називається нескінченно малою величиною (н. м. в.), якщо .

Приклад. — н.м.в., бо .

Теорема 1. Сума двох н.м.в. є н. м. в.

Наслідок. Алгебраїчна сума скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на н.м.в. є н.м.в.

Приклад. Обчислити . Послідовність — н.м.в., бо є добутком обмеженої величини і н.м.в. .

Таким чином, за теоремою 2 .

Теорема 3. Добуток двох н.м.в. є н.м.в.

Наслідок. Добуток скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.

Теорема 4. Для існування границі а послідовності x_n необхідно і достатньо, щоб послідовність була н.м.в.

Наслідок. Якщо , то , де — н.м.в.

4. Нескінченно велика величина. Зв’язок між нескінченно великою і нескінченно малою величинами

Означення. Послідовність x_n називається нескінченно великою величиною (н.в.в.), якщо для будь-якого числа , яке б велике воно не було, існує номер N,такий, що при всіх виконується нерівність .

Якщо члени н.в.в., починаючи з деякого номера, всі додатні, то позначають якщо від’ємні, то — а якщо різних знаків, то —

Наприклад:

1)

2)

3)

Аналітичною мовою означення н.в.в. виглядає так:

За своїм означенням, н.в.в. — необмежена, але не кожна необмежена величина є н.в.в., наприклад послідовність 1, 0, 3, 0, 5, 0, ... з членом – величина необмежена, але н.в.в. не буде. Справді, не всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера, будуть як завгодно великими.

Теорема. Зв’язок між н.в.в. і н.м.в.

1. Якщо — н.м.в. і , то обернена до неї послідовність буде н.в.в., і навпаки.

2. Якщо y_n — н.в.в., то обернена до неї — н.м.в.

5. Граничний перехід при арифметичних операціях

Теорема. Якщо існують границі , то:

1)

2)

3)

За допомогою теореми можна виконувати граничний перехід при арифметичних операціях з послідовностями, але тільки в тих випадках, коли послідовності збіжні.

Приклад. .

На практиці такі докладні записи граничного переходу виконують рідко; як правило, граничний перехід при арифметичних операціях виконується усно.

Якщо умови теореми порушуються, то вираз під знаком границі спочатку перетворюють таким чином, щоб арифметичні дії виконувалися зі збіжними послідовностями, а потім виконують граничний перехід.

Приклад.

6. Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей

Теорема 1. (Граничний перехід у нерівності).

Якщо для будь-якого n виконується нерівність і — збіжні, то .

Теорема 2. (Про границю затисненої послідовності). Якщо для будь-якого n і , то

Приклад.

Теорема 3. (Вейєрштрасса). Про границю монотонної й обмеженої послідовності:

1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна;

Переглядів: 1099