• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо інтеграл виду Цей інтеграл за допомогою універсальної тригонометричної підстановки зводиться до інтеграла від раціональної функції.

Дійсно, маємо:

Таким чином, інтеграл раціонально виражається через .

Наприклад.

В деяких випадках більш доцільно користуватися не універсальною тригонометричною підстановкою (якщо вона призводить до громіздких виразів під знаком інтеграла), а іншими методами.

1) Інтеграл виду зручно знаходити за допомогою тригонометричної підстановки Тоді і ми одержуємо

2) Аналогічно задача знаходження інтеграла виду розв’язується шляхом введення підстановки

3) Щоб перейти від інтеграла до інтеграла від раціональної функції, досить виконати підстановку Дійсно при цьому і ми одержуємо інтеграл від раціональної функції виду

4) Якщо та містяться під знаком інтеграла лише в парних степенях, то доцільною є підстановка При цьому .

5) Розглянемо інтеграл виду ( – цілі числа). Можливі такі випадки:

6) Хоч одне з чисел непарне. Проілюструємо хід міркувань на такому прикладі.

Таким чином, ввівши підстановку приходимо до інтеграла від раціональної функції.

7) Числа, – невід’ємні і парні.

Доречно скористатися відомими формулами тригонометрії.

Наприклад. Знайдемо інтеграл .

Маємо: .

8) Числа і парні, але хоча б одне з них – від’ємне.

В цьому випадку зручно скористатися заміною або .

9) Інтеграли виду та легко знайти, якщо перетворити підінтегральні добутки в суми:

,

Зауваження. Будь-яка неперервна на деякому інтервалі функція має на цьому інтервалі первісну, але не всяка первісна виражається через елементарні функції в скінченому вигляді. Це стосується, наприклад, таких інтегралів:

та ін.

Для практичних застосувань складають таблиці значень таких функцій при різних . Наприклад, в курсі теорії ймовірностей та математичної статистики ми будемо зустрічатися з функцією Лапласа та користуватимемося таблицею значень цієї функції при різних .

Переглядів: 2581