• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Формула Ньютона-Лейбніца

На основі наведених властивостей можна легко довести теорему про похідну від інтеграла із змінною верхньою межею: якщо функція неперервна на проміжку , похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції: .

Дійсно, згідно з властивістю 6) визначеного інтеграла, маємо:

.

Отже, .

Використовуючи теорему про середнє до інтеграла , отримаємо: . Таким чином, . Отже, . Але коли то . Це означає, що , що і потрібно було довести.

На основі доведеної теореми легко можна довести знамениту формулу Ньютона-Лейбніца: якщо – яка-небудь первісна від неперервної функції , то

.

Дійсно, якщо – яка-небудь первісна від неперервної функції , то, оскільки – також її первісна, маємо:

, де – стала.

Для визначення цієї сталої покладемо в останній рівності

або Звідси одержуємо: . Таким чином, . Підставивши одержуємо формулу Ньютона-Лейбніца, яка встановлює зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами. Цю формулу записують ще так:

Наприклад

Для знаходження визначених інтегралів користуються методом заміни змінної та методом інтегрування по частинах.

Так, для обчислення інтеграла , де , можна ввести нову змінну за формулою: . Якщо:

а)

б) неперервні при ;

в) – визначена і неперервна функція на відрізку , то має місце формула:

.

Наприклад, .

При потребі користуються формулою інтегрування по частинах:

Наприклад.

.

Переглядів: 495