• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Властивості збіжних рядів

Відзначимо основні властивості рядів.

1) Якщо збігається ряд, одержаний з даного ряду відкиданням декількох його членів, то збігається і сам даний ряд. І навпаки: якщо збігається даний ряд, то збігається і ряд, одержаний з даного відкиданням декількох членів.

Дійсно, якщо – сума перших членів ряду (1), – сума відкинутих членів, – сума членів ряду, що входять в суму і не входять в , то . Якщо існує , то існує і , і навпаки. Таким чином, на збіжність ряду не впливає відкидання скінченого числа його членів.

2) Якщо ряд (1) збігається і його сума дорівнює , то ряд

(2)

де – яке-небудь фіксоване число, також збігається і його сума дорівнює .

Дійсно, якщо – – на частинна сума ряду (1), а – – на частинна сума ряду (2), то , і .

3) Якщо ряди (1) і

(3)

збігаються і їх суми, відповідно, дорівнюють і , то ряди

(4)

та

(5)

також збігаються і їх суми, відповідно, дорівнюють та .

Дійсно, – на частинна сума ряду (4) , де та – – ні частинні суми рядів (1) і (3). Маємо:

.

Аналогічно доводиться, що ряд (5) збігається і його сума дорівнює .

3. Необхідна ознака збіжності ряду та достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами

а) Сформулюємо необхідну ознаку збіжності ряду.

Якщо ряд (1) збігається, то його – ний член прямує до нуля при необмеженому зростанні .

Дійсно, якщо ряд (1) збігається, то та . Таким чином, , або .

Це означає, що , що і потрібно було довести.

Звідси як наслідок випливає достатна ознака розбіжності ряду: якщо – ний член ряду не прямує до нуля при , то ряд розбігається.

Приклад №3. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'яування. Оскільки , то ряд збігається.

Зауважимо, що у випадку, коли , ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

Так, наприклад, далі буде показано, що так званий гармонічний ряд

розбігається, хоча

б) Розглянемо ряди (1) і (3) з додатними членами:

та

Нехай кожен член ряду не більше відповідного члена ряду , тобто . Тоді:

1) якщо збігається ряд , то збігається і ряд .

2) якщо розбігається ряд , то розбігається і ряд .

Це – так звана ознака порівняння.

Дійсно, якщо ряд збігається, то його -на частинна сума не перевищує , де – сума ряду . Але -на частинна сума ряду не перевищує і, отже, обмежена зверху числом . А це означає, що ряд збігається.

Якщо ж ряд розбігається, то його частинні суми необмежено зростають: . Оскільки , то і . Оскільки , то і . Значить, ряд розбігається, що і потрібно було довести.

Приклад №4. Дослідити на збіжність ряди.

а) б) за допомогою ознаки порівняння.

Розв'язування.

а) Оскільки , а ряд розбігається, то і ряд також розбігається.

б) Оскільки , а ряд збігається як геометрична прогресія, знаменник якої менший від одиниці, то і ряд збігається.

На практиці часто користуються граничною ознакою порівняння рядів з додатними членами: якщо границя відношення та існує і не дорівнює нулю

то ряди і або обидва збігаються, або обидва розбігаються.

в) Розглянемо достатні ознаки збіжності ряду, які використовують лише вирази для його членів.

Ознака Даламбера. Нехай дано ряд з достатними членами. Якщо при існує границя відношення наступного члена до попереднього , що дорівнює :

то при , ряд збігається, а при – розбігається (при ряд може бути як збіжним, так і розбіжним).

Приклад №5. Дослідити на збіжність ряд

Розв'язування. Тут

Тому

Отже, даний ряд збігається.

Зауважимо, що коли але для всіх номерів , починаючи з деякого, то ряд розбігається, оскільки і загальний член не прямує до нуля при . Ряд буде розбіжним і в тому випадку, коли .

Ознака Коші. Якщо для ряду з додатними членами величина має скінченну границю при , тобто

,

то при ряд збігається, при – розбігається (при ряд може бути як збіжним, так і розбіжним).

Приклад №6. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'язок. Застосуємо ознаку Коші:

Ряд збігається.

Інтегральна ознака збіжності ряду.

Нехай члени ряду додатні та не зростають, тобто і нехай – така неперервна незростаюча функція, що . Тоді справедливі наступні твердження: якщо невласний інтеграл збігається, то збігається і ряд ; якщо вказаний інтеграл розбігається, то розбігається і ряд .

Приклад №7. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'язування. Покладемо та застосуємо інтегральну ознаку. маємо: .

Отже, при буде – ряд збігається. У випадку – ряд розбігається. І, нарешті, при (випадок гармонічного ряду) – ряд розбігається.

4. Знакозмінні ряди

Вивчимо питання про ряди з довільними членами.

а) Розглянемо ряд, знаки якого строго чергуються:

(6)

де – додатні числа. Має місце

Теорема Лейбніца. Якщо в ряді (6) абсолютні значення членів ряду спадають, тобто

і загальний член ряду прямує до нуля, то ряд збігається, причому його сума за абсолютною величиною менша від залишок ряду за абсолютною величиною менший за абсолютну величину першого з відкинутих членів: .

Приклад №8. Дослідити на збіжність ряд

Розв'язок. Цей ряд збігається, оскільки та При цьому частинна сума відрізняється від суми ряду на величину меншу, ніж .

б) Для рядів з довільними знаками їх членів найчастіше користуються наступною достатньою ознакою збіжності.

Якщо ряд, складений із абсолютних величин членів даного ряду, збігається, то збігається і даний ряд.

Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне. Так, наприклад, ряд

збігається згідно з теоремою Лейбніца, а ряд, складений із абсолютних величин його членів (гармонічний ряд)

розбігається (наприклад, згідно з інтегральною ознакою).

Ряд, абсолютні величини членів якого утворюють збіжний ряд, називається абсолютно збіжним. Якщо ряд збігається, а ряд, утворений з абсолютних величин його членів, розбігається, то даний ряд називається неабсолютно або умовно збіжним.

Розглянутий вище ряд є умовно збіжним.

Виявляється, що коли ряд збігається абсолютно, то він залишається абсолютно збіжним при будь-якій перестановці його членів. При цьому сума ряду не залежить від порядку його членів. Якщо ж ряд збігається умовно, то яким би не було число А, можна так переставити члени цього ряду, щоб його сума виявилась рівною А. Більше того, можна, так переставити члени умовно збіжного ряду, що ряд, одержаний після перестановки, виявиться розбіжним.

Переглядів: 4048