• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Поняття функції багатьох змінних

1.1. Евклідовий простір ( )

Означення 1. Координатна площина називається евклідовою площиною, якщо відстань між будь-якими точками та визначена за формулою:

(1)

Аналогічно, евклідовий простір – це такий координатний простір, відстань між двома довільними точками якого та визначається за формулою:

(2)

Надалі кожну впорядковану сукупність будемо називати точкою цього простору і позначати однією буквою М. При цьому числа будемо називати координатами точки М і записувати: .

1.2. Множини точок в ( ).

Множини точок із ( ) будемо позначати або .

Наведемо приклад таких множин. Нехай задана точка . Множина Х можливих точок, координати яких задовольняють нерівності:

(3)

(4)

називається кругом (кулею) радіуса з центром в точці і позначається .

Враховуючи (2) нерівності (3) – (4) можемо записати у вигляді:

(5)

У випадку, коли в (5) виконується строга нерівність , (6)

множина називається відкритим кругом (кулею) і позначається .

Означення 2. Відкриту множину будемо називати -околом,яку зображено на Рис. 1.

Означення 3. Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо для цієї точки існує деякий -окіл, всі точки якого належать .

Означення 4. Точка називається граничною точкою множини , якщо в будь-якому її -околу знаходяться, як точки які належать так і такі, які множині не належать.

Означення 5. Множина називається відкритою, якщо всі її точки внутрішні.

Означення 6. Множина називається замкненою, якщо всі граничні точки цієї множини належать їй. Вона позначається . Множина всіх граничних точок позначається . Отже .

1.3. Послідовності точок в ( )

Нехай кожному числу ставиться у відповідність точка із . Пронумерований ряд точок називається послідовністю точок евклідового простору і позначається .

Означення 7. Послідовність точок називається збіжною до границі А, якщо для будь-якого можна вказати номер такий, що для всіх відповідні точки послідовності будуть знаходитись в - околі точки А, тобто .

Число А називається границею послідовності . Цей факт записують так:

або при .

Легко встановити, що для збіжних послідовностей справедлива теорема 1.

Теорема 1

Для того, щоб послідовність точок збігалась до точки необхідно і достатньо, щоб послідовності координат , збігались до відповідних координат , точки А, тобто

при ,

при .

Переглядів: 504