Розв’язання

Зрозуміло, що в точці функція не визначена. Знайдемо тепер границю, коли точка . Нагадаємо, що умова , рівносильна умові . Нехай вздовж прямої , тоді:

тобто границя дорівнює нулю.

Нехай тепер вздовж параболи , тоді одержимо:

Звідси випливає, що при число відмінне від нуля.

Таким чином, границя буде різним числом, в залежності від способу прямування точок М до 0. Отже, дана границя не існує.

2.2. Неперервність функції багатьох змінних

Означення 15. Функція називається неперервною в точці , якщо має місце рівність або при довільному прямуванні . В протилежному випадку кажуть, що функція має розрив у точці .

Означення 16. Функція називається неперервною на множині Х, якщо вона неперервна в будь-якій точці цієї множини.

Введемо тепер поняття повного приросту функції багатьох змінних.

Означення 17. Повним приростом функції в точці називається число, яке визначається за формулою , де М довільна точка області визначення Х .

Якщо ввести відповідні прирости змінних , то можемо переписати приріст у вигляді .

Останнє представлення зручне для визначення неперервності функції в точці через прирости (на мові приростів).

Означення 18. Функція називається неперервною в точці , якщо її повний приріст в цій точці є нескінченно малою величиною при , тобто

Якщо функція неперервна в області Х та на її границі , то кажуть, що вона неперервна в замкненій області .

Для функцій багатьох змінних справедливі такі важливі теореми.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Розв’язання	\|	Теорема 3

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.01 сек.