Похідна за напрямом. Градієнт

Нехай функція визначена в деякому околі точки , a – напрямок, що задається одиничним вектором , де - кути, які утворює вектор з осями координат.

Якщо точка перейде по напряму в точку , то функція одержить приріст у напрямі , тобто . (22)

Оскільки то очевидно (див. Рис.3), що , .

Рис.3.

Тому приріст функції у даному напрямі перепишемо у вигляді:

Означення 22. Похідною за напрямом функції двох змінних називається границя відношення приросту функції в цьому напрямі до величини переміщення при прямуванні її до нуля, тобто . (23)

Похідна –характеризує швидкість зміни функції в напрямі .

Зрозуміло, що частинні похідні та є похідні за напрямами паралельними осям Ox та Оy відповідно.

Якщо використати теорему Лагранжа, то неважко показати, що (24)

Означення 23. Градієнтом функції називаєтьсявектор з координатами .

Враховуючи, що , праву частину (24) можемо записати увигляді скалярного добутку:

. (25)

Звідси випливає, що похідна за напрямом є скалярний добуток градієнта і одиничного вектора, який задає напрям .

Скалярний добуток двох векторів (25) максимальний, якщо вони мають однаковий напрям. Тому градієнт функції в даній точці характеризує напрям максимальної швидкості зміни функції в цій точці. Градієнт записують через його координати , а його довжина дає величину максимальної швидкості зміни функції в точці .

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Розв’язання	\|	Приклад 15

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.