Дисперсія дискретної випадкової величини, її властивості
Знаючи лише математичне сподівання величини , неможливо оцінити величину розсіювання навколо . Тому вводять до розгляду дисперсію.
Дисперсією дискретної випадкової величини називається математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:
.
Таким чином, для обчислення дисперсії, згідно з означенням, спочатку обчислюють , потім складають закон розподілу величини :
...
...
та знаходять .
Для практичного обчислення дисперсії зручніше користуватися формулою
.
Дійсно, Дисперсія має такі властивості:
1. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю.
2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, піднісши його до квадрату:
.
3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:
.
Аналогічно дисперсія суми кількох взаємно залежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин; дисперсія суми постійної величини і випадкової величини дорівнює дисперсії випадкової величини.
4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:
.
Приклад №7. Визначити дисперсію числа появ події А в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події постійна.
Позначимо – число появ події А в незалежних випробуваннях, – число появ події А в -ому випробуванні ( – незалежні випадкові величини). Тоді , і . При цьому , де , . Таким чином, ; а .