Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Арифметичні теореми про збіжні послідовності

Теорема 3.7.Границя суми двох збіжних послідовностей дорівнює сумі границь:

Доведення. Нехай та . За теоремою 3.6. послідовності та є нескінченно малими. Позначимо та . Звідси: та Розглянемо суму: , або . Сума є нескінченно малою, а тоді за теоремою 3.6 послідовність має границею . Отже: .

Аналогічно доводиться, що .

Теорема 3.8. Границя добутку двох збіжних послідовностей дорівнює добутку границь:

Доведення. Нехай та . За теоремою 3.6 послідовності та є нескінченно малими. Позначимо та . Звідси: та . Розглянемо добуток: . Позначивши , отримаємо: . Доведемо, що послідовність є нескінченно малою. Дійсно, та − сталі, отже, їх добутки на нескінченно малі та є нескінченно малими, так як і добуток двох нескінченно малих та , а сума скінченого числа нескінченно малих послідовностей також є нескінченно малою. Таким чином, є нескінченно малою, отже, .

Теорема 3.9. Границя частки двох збіжних послідовностей дорівнює частці границь:

Доведення. Нехай та . За теоремою 3.6 послідовності та є нескінченно малими. Позначимо та . Звідси: та . Розглянемо різницю:

Вираз є сумою добутків сталої на нескінченно малу величину, отже, це нескінченно мала величина. Множник: є числовою послідовністю, границею якої є число , оскільки − стала, а − нескінченно мала, її границя дорівнює нулю. Отже, ця послідовність збіжна, тому обмежена, а добуток обмеженої на нескінченно малу є нескінченно малою. За теоремою 3.60

послідовність має границею число .

Теорема 3.10. Границя сталої дорівнює самій сталій величині:

(Без доведення).

Наслідок теорем 3.8. та 3.10. Сталу можна виносити за знак границі:

Означення 3.26. Числова послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого додатного існує номер , який залежить від , такий, що виконується нерівність: .

У такому випадку границя послідовності не існує, інколи використовується запис: .

Зауваження. Треба розрізняти поняття нескінченно великої та необмеженої послідовностей. Послідовність називається необмеженою, якщо , тобто нерівність виконується для одного члена послідовності, а саме - для і може не виконуватись для всіх наступних членів послідовності. А у випадку нескінченно великої послідовності модулі всіх членів з номерами більшими за більші за .

Теорема 3.11. Зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими послідовностями.

1. Якщо - нескінченно велика послідовність, у якої , то послідовність є нескінченно малою.

2. Якщо - нескінченно мала послідовність, у якої , то послідовність є нескінченно великою.

Доведення. Доведемо перше твердження.

Нехай і . Візьмемо довільне додатне число . Позначимо . За означенням , звідки за умовою , отримаємо: , отже, послідовність є нескінченно великою.

Доведемо друге твердження.

Нехай нескінченно велика числова послідовність, і . Візьмемо довільне додатне число . Позначимо . За означенням , звідки за умовою , отримаємо: , а це і встановлює, що - нескінченно мала.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Доведення.	\|	Теореми порівняння

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.