Розглянемо функцію, яка має похідну, а значить і дотичну в точці .
З рисунка випливає, що диференціал показує, наскільки зростає ордината дотичної при прирощені аргументу.
Оскільки похідна лінійної функції є сталою, то диференціал лінійної функції дорівнює прирощенню функції (дотична до прямої співпадає з самою прямою). Зокрема, аргумент можна вважати лінійною функцією, тому , і диференціал функції набуває вигляду:
.
Виходячи з цього співвідношення, похідну можна позначати так:
.
У випадку складеної функції диференціал зберігає свою форму. Дійсно, нехай дана функція , її похідна : , а диференціал: . Добуток , отже, . Ця властивість називається інваріантністю форми диференціала.
Приклад. Знайти диференціал функції: .
За означенням . Спочатку знайдемо похідну:
.
Відповідно, диференціал має вигляд:
.
Запитання та завдання для самоперевірки
Для функцій із попереднього розділу:
та ,
вкажіть точки, у яких функція неперервна, але не має похідної.
1. Нехай функція визначена при . У яких точках цього