• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Скалярне та векторне поле та їх характеристики (градієнт скалярного поля, дивергенція і ротор векторного поля та ін.). Формули Грина, Остроградського-Гауса та Стокса.

def: Будемо казати, що в області є заданим скалярним (векторним) полем, якщо кожній точці співставляє за деяким законом єдине число (вектор). Іншими словами скалярне (векторне) поле, це скалярна (векторна) ф-ція задана в обл-ті D.

def: Скалярне поле U(M) називається диференційованим в точці , якщо його повний приріст можна представити у вигляді

,

де , , - числа, що не залежать від ,

Еквівалентними є представлення повного приросту у вигляді:

,

.

Нехай

Тоді повний приріст матиме вигляд:

.

Знаючи .

Означення градієнта не залежить від вибору системи координат, тому градієнт – це інваріант. Якщо - одиничний вектор, що задає напрям, то похідна скалярної функції за напрямом обчислюється за формулою:

.

def: Векторне поле наз-ся диференційованим в точі існує лінійний оператор А: , такий що , де , – вектор: .

def: Векторне поле називається диференційованим в області D , якщо воно диференційовне в усіх точках області D.

def: Похідна векторного поля за напрямком наз-ся

.

def: Дивергенцією векторного поля, що є диференційовним в точці М наз-ся дивергенція оператора А, що визначається умовою диференційовності цього векторного поля в точці М. Тобто, якщо , то .

def: Ротор визначається аналогічно, як .

;

Формули обчислення похідної за напрямом:

,

де - направляючі косинуси.

Формула Гріна. Нехай - це площина в , - одиничний вектор нормалі до , D – область на площині .

D – однозв’язна плоска область, тобто будь-яка кусково-гладка зімкнена крива, що лежить в D обмежує область, яка також цілком лежить в D .

Умови на D:

1) - зімкнена, кусково гладка, без особливих точок, тут - межа області D, тобто множина межових точок D ;

2) на площині π можна обрати таку декартову прямокутну систему координат, що усі прямі, які паралельні осям координат перетинають С не більш, ніж у двох точках.

Th (формула Гріна): Нехай - векторне поле, диференційовне в області D, що задовольняє умовам 1) і 2); - має неперервні похідні за будь-яким напрямком в точках об’єднання . Тоді виконується формула:

.

Формула Остроградського-Гаусса. - однозв’язна тривимірна область - кусково-гладкої, зімкненої поверхні такої, що , область D, яку вона обмежує лежить всередині D, тобто .

- множина межових точок області D.

Поверхня S в задовольняє умовам:

1) S – кусково-гладка, без особливих точок, двозв’язна, повна, обмежена, зімкнена;

2) Oxyz (можна обрати прямокутну систему координат), таку, що будь-яка пряма, паралельна координатній осі, перетинає S не більше, як двох точках.

- одиничний вектор зовнішньої до поверхні S нормалі.

Th (формула Остроградського-Гаусса). Нехай - векторне поле, диференційовне в D, яке задовольняє умовам 1) і 2) і, крім того, похідна за будь-яким напрямом неперервна в . Тоді здійснюється формула

Формула Стокса.

def: Поверхнею з краєм називається така множина G, деякий окіл кожної з точок якої є гомеоморфним образом або множини або . Множина С тих точок, околи яких є гомеоморфними образами множини , називається краєм поверхні G (див.рис.19.4).

Умови на поверхню S:

1) S – кусково-гладка, без особливих точок, двостороння, повна, обмежена,

2)∃ С - край поверхні S, який є кусково-гладкою, без особливих точок просторовою кривою;

3)∃ система координат Oxyz така, що поверхня S однозначно проектуємо на кожну з трьох координатних площин.

- одиничні вектори нормалі до S.

- одиничний вектор дотичної в точці контура С з напрямом, що узгоджено з (правило «штопора»).

З цих вимог виконується Th(ма).

Th (формула Стокса): Якщо - векторне поле, неперервно диференційовне в околі поверхні S (у відкритій множині, що містить у собі S), поверхня S задовольняє зазначеним умовам, тоді здійснюється формула

.

Переглядів: 1161