• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Оригінали та зображення.

Опорний конспект лекцій

з дисципліни Вища математика

для студентів заочної, прискореної форми навчання (ТСМ, ІМЗ)

(III курс, II семестр), лекція 5

Розділ 6. Основи операційного числення

Доцент к.ф.т.н. Плешівський Я.М.

Львів

2014р.

План лекції:

- поняття функції – оригіналів та зображення Лапласа;

- перетворення Лапласа та його основні властивості (зміна масштабу запізнення, диференціювання оригіналу та зображення, інтегрування оригіналу);

- розв’язування задач Коші для диференціальних рівнянь традиційним методом;

- основні поняття комбінаторики, теорії ймовірності;

- основні поняття та властивості теорії ймовірності, формули повної ймовірності;

- числові характеристики та закони розподілу неперервних випадкових величин (НВВ).

1. Поняття функції оригіналів та зображення Лапласа

Пер6творення Лапласа та його властивості є основою операційного числення, азбукою сучасної автоматики та телемеханіки. Вперше їх застосував в електротехнічних розрахунках англійський інженер – електрик О.Хевісайт.

Основна ідея операційного числення: мати функцію дійсної змінної f(t) (оригіналом) і функцію комплексної змінної F(p) (зображенням) встановлюється відповідність, яка дозволяє диференціювання та інтегрування оригіналу f(t) зводить до алгебраїчних операцій над зображенням F(p), тобто зводить розв’язок диференціальних, інтегральних, інтегро – диференціальних рівнянь до розв’язання алгебраїчних рівнянь.

Оригінали та зображення.

Озн.1. оригіналом називають функції f(t), які задовольняють умови:

- f(t) визначена для усіх , неперервна за виключенням можливо скінченної кількості точок розриву першого роду на кожному скінченному проміжку;

- при (фізичний процес, який описує f(t), починається в момент часу ;

- існують такі числа М та , що

(1) ( -показник зростання )

Функції f(t)

Якщо f(t) обмежена, то =0.

Озн.2. Зображенням Лапласа оригіналу називають функцію F(p) комплексної змінної , яку визначають за формулою

(2)

Відповідність між оригіналом f(t) і функцією F(p) встановлюється за допомогою перетворення Лапласа і позначається так :

або

Теорема 1. Для будь – якого оригіналу f(t) зображення F(p) визначене і є аналітичною функцією в порівнянні .

Одинична функція Хевісайда та її зображення :

Ця функція визначена для усіх неперервна з винятком точки t=0, обмеження і 1-3 умовам озн.1, є оригіналом

Таким чином : .

2. Властивості зображень Лапласа.

1. Теорема про лінійність. Якщо де та - сталі , то тобто зображення лінійної комбінації оригіналів дорівнює відповідній лінійній комбінації їх зображень.

2. Теорема зміщення. Якщо і - довільне комплексне число, то для р таких, що , тобто зміщення зображення на рівносильне множенню оригіналу на .

Використовуючи ці властивості, знаходять зображення деяких функцій:

;

Теорема подібності. Якщо , то для довільного

.

Теорема запізнення. Якщо і , то

Приклад: Оскільки то

Теорема про диференціювання оригіналу. Якщо n раз неперервно-диференційована на і функції є оригіналами, то із відповідності випливає:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Зауваження: якщо , то

Переглядів: 3852