• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Можливі варіанти розриву функцій в точці

(мал. 4)

мал. 4

(мал. 5).

мал. 5

(мал. 6)

мал. 6

Означення.	Точка х0 називається точкою розриву першого роду функції у = f(x), якщо існують скінченні границі і при цьому:
	1. або 2. або 3. або	неусувний розрив 1-го роду;
	4. — усувний розрив 1-го роду

Означення.

Точка х0 називається точкою розриву 2-го роду функції у = f(x), якщо одна із границь не існує або нескінченна.

Методика дослідження
функції у = f(x) на неперервність

1. Знаходимо точку х₀ — «підозрілу» на розрив. Це може бути точка, в якій функція невизначена або змінює закон визначеності.

2. Визначаємо інтервали неперервності функції.

3. Обчислюємо

.

4. Робимо висновок згідно з теоремами (якщо такі границі існують), або використовуючи означення точок розриву.

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

Мал. 7

1. Точка х₀ = 1 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності (на проміжку (– ¥; 1) маємо у = х, на проміжку (1, +¥) — іншу залежність: у = х + 1).

2. Функція неперервна на проміжках (– ¥; 1) і (1; + ¥).

3. Знаходимо

.

4. , тому за означенням функція має в точці х = 1 неусувний розрив 1-го роду.

Дослідити на неперервність функцію

· 1. Точка х₀ = 0 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності.

2. (– ¥; 0) (0; + ¥) — множина, де функція неперервна.

3. Знаходимо

1 = 1 =1 — функція неперервна в точці х₀ = 0 за означенням неперервної функції. Отже, інтервалом неперервності функції .

Наслідки з формул для визначних границь

1. 2. 3. .

4. . 5.

Досліджуючи функції на неперервність, слід пам’ятати, що елементарна функція може мати розрив тільки в окремих точках, в яких вона невизначена. Неелементарна функція може мати розриви у точках, де вона невизначена, а також у тих точках, при переході через які змінюється її аналітичний вираз.

Дослідження функції на неперервність полягає в знаходженні точок, в яких можливий розрив, з подальшою перевіркою умов неперервності функції. Перевірка умов переважно зводиться до знаходження односторонніх границь функції, коли х прямує до можливої точки розриву зліва або справа, і до подальшого порівняння значень цих границь, якщо вони існують.

Приклад.Дослідити на неперервність функції:

1) ;

2) ;

3) ,

схематично побудувати їх графіки.

	1) . Можливі точки розриву (функція невизначена в цих точках): . Оскільки функція парна, то її поведінка в околі цих точок однакова. Дослідимо точку . Функція визначена в околі цієї точки, знайдемо і . Отже, односторонні границі не існують, тому в точці і аналогічно в точці функція має розрив другого роду.
2) . Точка можливого розриву — . Знайдемо , . Обидві односторонні границі функ­ції існують, але нерівні між собою. В точці функція має розрив першого роду, стрибок.
	3) . Точка можливого розри- ву — . Знайдемо . Односторонні грани- ці існують, але нерівні між собою. В точці функція має розрив пер­шого роду.

Приклад.Дослідження на неперервність функції:

При якому значенні а функція буде неперервною? Побудувати схематично графік при різних значеннях а.

Задана функція не є елементарною, хоча на кожному з проміжків вона задається елементарними функціями. Можлива точка розриву є точка переходу від одного аналітичного виразу до іншого . Знайдемо односторонні границі: . Згідно з означенням, якщо границі рівні між собою і рівні значенню функції в точці , то функція буде неперервною. Отже, для неперервності маємо умову . При функція неперервна в точці , а при інших значеннях а в цій точці розрив першого роду.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик„Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 183 – 189.

Розділ”Диференціальне числення функції однієї змінної”

Переглядів: 1833