• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті

1.Якщо існує границя відношення прирісту функції до прирісту аргумента, коли приріст аргумента наближається до нуля, то значення цієї границі називається........

а)границею функції в точці б)неперервністю функції в точці

в)похідною функції в точці г)первісною функції в точці

2.Знаходження похідних від функції f(х) називається......

а)зростанням функції б)спаданням функції

в)інтегруванням функції г)диференціюванням функції

3.Швидкість в даний момент часу - це..........зміст похідної.

а)фізичний б)геометричний

в)алгебраїчний г)механічний

4.Якщо функція описує деякий фізичний процес, то її похідна - є миттєвою швидкістю зміни процесу. В цьому полягає .............. зміст похідної.

а)фізичний б)геометричний

в)алгебраїчний г)механічний

5.Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у=f(х) в даній точці є ...

а)інтегралом функції f(х) б)похідною функції f(х)

в)приростом функції f(х) г)первісною функції f(х)

6.Тангенс кута нахилу дотичної до кривої у=f(х) в даній точці є ..

а)інтегралом функції f(х) б)похідною функції f(х)

в)приростом функції f(х) г)первісною функції f(х)

7.Граничне положення січної КМ, коли точка М по графіку функції у=f(х) наближається до точки K називається....

а)первісною функції в точці К

б)похідною функції в точці К

в)нормаллю до графіка функції в точці К

г)дотичною до графіка функції в точці К

8..Пряма, що проходить перпендикулярно дотичній до графіка функції в точці дотику називається....

а)первісною функції б)похідною функції

в)нормаллю функції г)дотичною функції

9.Похідна сталої функції...

а)не існує б)дорівнює 0

в)дорівнює соs х г)дорівнює sin х

10.Похідна суми двох функції...

а)не існує б)дорівнює 0

в)дорівнює сумі похідних г)дорівнює добутку похідних

Завдання для самоперевірки

1.Як знайти похідну, виходячи з її означення?

2.Довести, користуючись означенням, що

(3х² – 5х + 2)^' = 6х – 5;

3.Дати означення диференційованої функції в точці і на проміжку.

4.Який клас функцій ширший: неперервних в точці х = х₀ чи диференційовних в цій точці? Навести приклади.

5. Нехай витрати виробництва є функцією кількості випущеної продукції: . Знайти середні і граничні витрати виробництва за обсягу випущеної продукції, що дорівнює 10 грошовим одиницям.

6. Обсяг виготовленої продукції у (ум. од.) цеху протягом робочого дня виражається такою функцією , де t — кількість годин роботи. Знайти обсяг випуску продукції через 2 години після початку робочого дня.

7. У якій точці дотична до параболи : 1) паралельна осі ОХ; 2) утворює кут 45° з віссю ОХ?

8. У яких точках кутовий коефіцієнт дотичної до параболи дорівнює 3?

9. Під якими кутами перетинаються парабола і пряма ?

10. Під яким кутом перетинаються гіпербола і парабола ?

11. Скласти рівняння дотичних до кривої :

1) в точці ;

2) в точці перетину з віссю OY.

12. Задано криву . Скласти рівняння дотичних:

1) в точках перетину її з прямою ;

2) паралельної і перпендикулярної до цієї прямої;

3) що проходять через точку .

13. Скласти рівняння спільних дотичних до кривих і .

14.Знайти похідні функцій:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 191 – 218.

Лекція „Похідна”

Під час вивчення економічних понять, таких, наприклад, як попит, витрати виробництва, національний прибуток, часто доводиться визначати швидкість зміни значень відповідних величин. Розв’язуючи такі задачі, застосовують методи диференціального числення.

Поняття похідної

Нехай у = f(x) є неперервна функція аргументу х, визначена на інтервалі (a, b). Візьмемо деяке значення незалежної змінної х і надамо її деякого приросту Dх. Тоді функція y = f(x) набуде приросту

Dу = f(x + Dx) – f(x) (мал. 1).

Означення. Відношення приросту Dу функції у = f(x) до приросту незалежної змінної х називається диференціальним відношенням:

(1)

мал.1

Відношення є тангенсом кута нахилу січної до осі Ох. При січна прямує до дотичної в точці Р. Тангенсом кута a нахилу дотичної до осі Ох при цьому буде границя відношення

.

Означення.

Функція у = f(x) називається диференційовною в точці х = х0, якщо існує границя .

(2)

Значення границі при цьому називається похідною функції
у = f(x) у точці х₀ і позначається

Позначення. =

Означення. Функція називається диференційовною на інтервалі І, якщо вона диференційовна в кожній точці х цього інтервалу.

Кожному значенню х із області диференційовності функції f (x) ставиться у відповідність її похідна в точці х. Отже, дістаємо похідну функцію, яку позначаємо f¢ (x). Дія відшукання похідної функції f (x) називається диференціюванням.

Приклад. Розглянемо функцію і знайдемо диференціальне відношення та похідну цієї функції.

мал. 2

· Диференціальне відношення визначаємо за формулою (1):

.

Похідну знаходимо за (2): . ·

Похідні основних елементарних функцій

Переглядів: 405