Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Задача Коші

Означення. Задача знаходження частинного розв’язку у = j(х) ДР (2), що задовольняє умову:

у = у0 при х = х0, (3)

називається задачею Коші. Умови (3) називаються початковими умовами, а числа у0, х0початковими значеннями.

Під час розв’язання задачі Коші застосовується така теорема існування і єдиностірозв’язку ДР.

Теорема 1. Якщо функція f(x, y) неперервна в області D і задовольняє в ній умову Ліпшиця

(4)

то при (х0, у0) Î D існує єдиний розв’язок ДР у = j(х), що задовольняє початкові умови (3).

Якщо в області D виконуються умови теореми існування і єдиності, то через кожну точку області D проходить одна інтегральна крива.

Задача Коші полягає в знаходженні інтегральної кривої, що проходить через задану точку (х0, у0).

Умови (4) можна замінити іншою умовою:

Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються особливими. Розв’язок ДР називається особливим, якщо всі точки цього розв’язку особливі.

Приклад. ДР першого порядку має розв’язок у = сх. Усі інтегральні криві перетинаються в точці (0, 0), яка є особливою точкою.

Приклад. ДР має очевидний (тривіальний) розв’язок у = 0. Цей розв’язок є особливим, бо через кожну точку розв’язку проходить ще один розв’язок у = (хс)3.

Означення. Функція у = j(х, с), що містить довільну сталу с, називається загальним розв’язком ДРу¢ = f(x, y), якщо функція у = j(х, с) є розв’язком ДР при довільному значенні сталої с, тобто

і якщо за рахунок вибору довільної сталої с можна розв’язати задачу Коші з довільними початковими умовами, тобто рівняння у0 = j(х0, с) розв’язується відносно с.

Розв’язок виду у = j(х, с0) називається частинним розв’язком.

Приклад. ДР у¢ = y має загальний розв’язок у = Сех, бо (Сех)¢ º Сех, а рівняння розв’язується відносно С,

Означення. Якщо довільна стала в загальному розв’язку ДР виражена через початкові значення, то загальний розв’язок називається розв’язком у формі Коші.

Приклад. ДР у¢ = y має загальний розв’язок у формі Коші.

Розв’язок ДР часто називають інтегралом ДР. Назву можна пояснити тим, що розв’язком найпростішого ДР

є інтеграл від f(x):

Загальний розв’язок ДР може бути знайдений у неявній формі, у вигляді рівняння y(х, у) = с. Це рівняння називається інтегралом ДР. Функція y(х, у) також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв’язок ДР задається неявним рівнянням виду y(х, у, с) = 0, то це рівняння називається загальним інтегралом ДР.

Приклад. ДР 2xdx + 2уdy = 0 має інтеграл х2 + у2 = с.

● Справді, знайдемо диференціали від лівої і правої частин рівняння х2 + у2 = с: d(x2 + y2) = dc Þ 2xdx + 2ydy = 0.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.8, стор. 421 – 426.

 




Переглядів: 2032

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Теми рефератів | Розділ ”Ряди”

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.006 сек.