• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Задача Коші

Означення. Задача знаходження частинного розв’язку у = j(х) ДР (2), що задовольняє умову:

у = у₀ при х = х₀, (3)

називається задачею Коші. Умови (3) називаються початковими умовами, а числа у₀, х₀ — початковими значеннями.

Під час розв’язання задачі Коші застосовується така теорема існування і єдиностірозв’язку ДР.

Теорема 1. Якщо функція f(x, y) неперервна в області D і задовольняє в ній умову Ліпшиця

(4)

то при (х₀, у₀) Î D існує єдиний розв’язок ДР у = j(х), що задовольняє початкові умови (3).

Якщо в області D виконуються умови теореми існування і єдиності, то через кожну точку області D проходить одна інтегральна крива.

Задача Коші полягає в знаходженні інтегральної кривої, що проходить через задану точку (х₀, у₀).

Умови (4) можна замінити іншою умовою:

Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються особливими. Розв’язок ДР називається особливим, якщо всі точки цього розв’язку особливі.

Приклад. ДР першого порядку має розв’язок у = сх. Усі інтегральні криві перетинаються в точці (0, 0), яка є особливою точкою.

Приклад. ДР має очевидний (тривіальний) розв’язок у = 0. Цей розв’язок є особливим, бо через кожну точку розв’язку проходить ще один розв’язок у = (х – с)³.

Означення. Функція у = j(х, с), що містить довільну сталу с, називається загальним розв’язком ДРу¢ = f(x, y), якщо функція у = j(х, с) є розв’язком ДР при довільному значенні сталої с, тобто

і якщо за рахунок вибору довільної сталої с можна розв’язати задачу Коші з довільними початковими умовами, тобто рівняння у₀ = j(х₀, с) розв’язується відносно с.

Розв’язок виду у = j(х, с₀) називається частинним розв’язком.

Приклад. ДР у¢ = y має загальний розв’язок у = Се^х, бо (Се^х)¢ º Се^х, а рівняння розв’язується відносно С,

Означення. Якщо довільна стала в загальному розв’язку ДР виражена через початкові значення, то загальний розв’язок називається розв’язком у формі Коші.

Приклад. ДР у¢ = y має загальний розв’язок у формі Коші.

Розв’язок ДР часто називають інтегралом ДР. Назву можна пояснити тим, що розв’язком найпростішого ДР

є інтеграл від f(x):

Загальний розв’язок ДР може бути знайдений у неявній формі, у вигляді рівняння y(х, у) = с. Це рівняння називається інтегралом ДР. Функція y(х, у) також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв’язок ДР задається неявним рівнянням виду y(х, у, с) = 0, то це рівняння називається загальним інтегралом ДР.

Приклад. ДР 2xdx + 2уdy = 0 має інтеграл х² + у² = с.

● Справді, знайдемо диференціали від лівої і правої частин рівняння х² + у² = с: d(x² + y²) = dc Þ 2xdx + 2ydy = 0.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.8, стор. 421 – 426.

Переглядів: 2136