Теми рефератів

1.Диференціальні рівняння як математичні моделі економічних і фізичних

закономірностей.

2.Метод Ейлера наближеного розв'язку задачі Коші для диференціальних

рівнянь першого порядку.

Лекція „Загальні поняття та означення теорії

диференціальних рівнянь”

Означення. Диференціальним рівняннямназивається рівняння, що містить похідні шуканої функції. Найвищий порядок похідної шуканої функції називається порядком диференціального рівняння. Надалі для скорочення запису замість слів «диференціальне рівняння» будемо використовувати позначення «ДР».

Приклад. у¢ = у — ДР першого порядку;

у² + siny = 0 — ДР другого порядку;

у¢¢¢ × у¢ – у² × у² = 0 — ДР третього порядку.

ДР першого порядку в загальному вигляді можна подати так:

(1)

Це ДР не розв’язуване відносно похідної. Якщо рівняння (1) можна розв’язати відносно похідної, то подаємо його у вигляді

(2)

Це рівняння називається ДР першого порядку, розв’язуваним відносно похідної. Його можна записати у вигляді

або

Якщо функція f(x, y) є дробом

то ДР першого порядку можна записати в симетричній формі

Означення. Розв’язком ДРназивається функція у = j(х), яка в результаті підставляння в ДР замість шуканої функції перетворює це ДР на тотожність.

Графік функції у = j(х) називається інтегральною кри-
вою. Процес знаходження розв’язку називається інтегруванням ДР.

Приклад. ДР у¢ = 2у має розв’язок у = е^2х.

●Справді, підставляючи у¢ = е^2х × 2, у = е^2х у ДР, дістаємо тотожність е^2х × 2 º2 е^2х.

Як правило, ДР має нескінченну множину розв’язків. Так, диференціальне рівняння у¢ = 2у має розв’язок у = Се^2х, де С — довільний сталий параметр.

Якщо шукана функція у = у(х) залежить від одного аргументу, то ДР для у(х) називається звичайним.

Якщо шукана функція залежить від кількох аргументів, то маємо ДР зчастинними похідними. У цьому розділі викладаються лише звичайні ДР.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті	\|	Задача Коші

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.