• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Операції над множинами

Об’єднання і перетин множин

Розглянуті нижче операції над множинами мають велике значення для розв’язання багатьох задач дискретної математики, особливо тих, що пов’язанні із синтезом дискретних автоматів.

Означення. Об’єднанняммножин А і В називається множина, що складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать хоча б одній з множин А або В. Позначається ={x|x A або х В} (називається сумоюабо об’єднанням).

Таким чином, за наведеним означенням тоді і лише тоді, коли х є елементом хоча б однієї з множин А або В. Наприклад, {1,2,3} {1,3,4}={1,2,3,4}.

Об’єднання множини А з порожньою множиною буде давати ту ж саму множину А: .

Аналогічно визначається об’єднання довільної (у тому числі й нескінченної) системи множин. Якщо система містить невелику кількість множин, то їх об’єднання описується явно, наприклад: .

У випадку, якщо всі множини пронумеровані індексами й належать до системи множин , то їх відображають у вигляді , або , де S – нескінченна система, і її множини пронумеровані підряд натуральними числами.

Для об’єднання множин справедливі комутативнийі асоціативнийзакони:

1. Комутативний закон

. (1.2)

2. Асоціативний закон

. (1.3)

Справедливість цих законів випливає з того, що ліва і права частини наведених рівностей складаються з одних і тих самих елементів ,а порядок їх об’єднання для множин не має значення.

Означення.Перетином (добутком, перерізом) множин А і В називається множина, що складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать як до множини А, так і до множини В. Позначається . До цієї множини належать лише спільні елементи множин А і В.

Формальне означення:

={x|x A і х В}. (1.4)

Наприклад, {1,2,3} {1,3,4}={1,3}.

Для перетину і об’єднання множин властиві таківключення:

, (1.5)

. (1.6)

Вважається, що дві множини А і В не перетинаються, якщо , і перетинаються, якщо .

Перетин множин має комутативну

(1.7)

і асоціативну властивість

. (1.8)

Для порожньої множини має місце також співвідношення , яке твердить, що перетин будь-якої множини з порожньою множиною дає ту саму порожню множину.

Декартів добуток

Означення.Декартів добуток (прямий добуток) двох множин А і В— це множина усіх можливих впорядкованих пар, у яких перша компонента належить множині А, а друга — множині В.

Декартів добуток двох множин А і В позначається як :

(1.9)

Наприклад, якщо множина А складається з 13 елементів { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }, а множина В – з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то декартів добуток цих множин є 52-елементною множиною (оскільки 13×4=52) {(A, червоний), (K, червоний), ... , (2, червоний), (A, чорний), ... , (3, зелений), (2, зелений)}.

Різниця множин

Означення.Різницеюмножин А і В або відносним доповненням множини В до А називається множина, що складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать А і не належать до В. Визначається лише для двох множин.

Наприклад, різниця між натуральними і парними числами являє собою множину всіх непарних натуральних чисел.

Різниця множин А і В позначається як A\B (A/B), або А-В, що відповідає умові {х|х A і х В}, яка визначає ті елементи множини А, що не є елементами множини В. Саму операцію знаходження різниці двох множин називають відніманням множин.

Нехай А={1,3,4,5}, а B={1,2,3}. Тоді отримана при відніманні множини В від А різниця А–В={4,5}.

Множина називається симетричноюрізницею.

Якщо А={1,3,4,5}, а В={1,2,3}, то симетрична різниця А+В={2,4,5}.

Теорема. .

Переглядів: 3978