Якщо диференційована на проміжку Х функція досягає найбільшого або найменшого значення в внутрішній точці х0 цього проміжку, то похідна функції в цій точці дорівнює нулю, тобто f¢( х0) = 0.
У
0 x0-Dx x0 x0+Dx х
Доведення
Нехай функція у = f (x) диференційована на проміжку Хі в точці х0 Î Х приймає найменше значення, отже Dу = f(x0+Dx) –f(x0) ³ 0 при достатньо малих Dх незалежно від знака Dx. Звідси випливає, що ³ 0 при Dх > 0 і £ 0 при Dх < 0. Перейшовши до границі при Dх ® 0 + 0 (справа) та при х ® 0 – 0 (зліва) отримаємо
³ 0 та £ 0.
За умовою функція диференційована в точці х0 ,отже, її границя при Dх® 0 не повинна залежати від способу наближення Dх® 0 (справа чи зліва), тобто
= Отже f ¢(x0) = 0.
Аналогічно розглядається випадок, коли функція f(x) приймає в точці x0 найбільше значення. Геометричний зміст теореми Ферма очевидний: в точці найбільшого або найменшого значення, який досягається в середині проміжку Х, дотична до графіка функція паралельна до осі ОХ.