Теорема Ферма

Тема 7. Теореми про диференціювання функцій.

Правило Лопіталя. Формула Тейлора.

Теорема Ферма

Якщо диференційована на проміжку Х функція досягає найбільшого або найменшого значення в внутрішній точці х₀цього проміжку, то похідна функції в цій точці дорівнює нулю, тобто f¢( х₀) = 0.

0 x₀-Dx x₀x₀+Dx х

Доведення

Нехай функція у = f (x) диференційована на проміжку Хі в точці х₀Î Х приймає найменше значення, отже Dу = f(x₀ + Dx) – f(x₀) ³ 0 при достатньо малих Dх незалежно від знака Dx. Звідси випливає, що ³ 0 при Dх > 0 і £ 0 при Dх < 0. Перейшовши до границі при Dх ® 0 + 0 (справа) та при х ® 0 – 0 (зліва) отримаємо

³ 0 та £ 0.

За умовою функція диференційована в точці х₀,отже, її границя при Dх® 0 не повинна залежати від способу наближення Dх® 0 (справа чи зліва), тобто

= Отже f ¢(x₀) = 0.

Аналогічно розглядається випадок, коли функція f(x) приймає в точці x₀найбільше значення. Геометричний зміст теореми Ферма очевидний: в точці найбільшого або найменшого значення, який досягається в середині проміжку Х, дотична до графіка функція паралельна до осі ОХ.

f¢(x₀) = К = tgφ при φ = 0^°Þ К = 0 Þ f¢(x₀) = 0

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Варіант 30.	\|	Теорема Ролля.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.002 сек.