3) на кінцях відрізку приймає рівні значення, тобто f(a)=f(в)
Тоді в середині відрізку існує хоча б одна точка с Î (а; в) в якій похідна функції дорівнюватиме нулю. f¢(с) = 0.
У
f(a) f(в)
0 a с1 с2 в x
Відмітимо геометричний зміст теореми Ролля: знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка функції буде паралельною до осі ОХ , в цій точці похідна і буде дорівнювати нулю. ( На малюнку таких точок дві с1 та с2 .)
Якщо f(a) = f(в) = 0 , то теорему Ролля можна сформулювати так:
Між двома сусідніми нулями диференційованої функції є хоча б один нуль похідної
Слід відмітити, що всі умови теореми Ролля суттєві і при невиконанні хоча б одної з них висновки теореми можуть стати хибними. Теорема Ролля є окремим випадком теореми Лагранжа