• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Основні теоретичні відомості

В сучасній теорії управління синтез систем розділяється на структурний та параметричний. При структурному синтезі необхідно синтезувати структуру регулятора для заданого об’єкта. Детально це питання буде розглядатися в 14 (для неперервної системи) та 15 (для дискретної системи) лабораторних роботах. При параметричному синтезі структура регулятора задана. Необхідно визначити його параметри. Процедура параметричної оптимізації передбачає створення трьох програм: програма, в якій задається функція, яку необхідно мінімізувати в ході виконання оптимізаційної процедури; оптимізацій на програма; програма оцінювання результатів виконання оптимізаційної процедури. Процедура параметричної оптимізації складається з наступних кроків:

1. Перш за все створюється модель ЛА у просторі станів на підставі даних про швидкість, висоту і т. ін. Далі у просторі станів створюється модель послідовного зв'язку виконавчого механізму і ЛА. Отже, цей крок завершується розробкою моделі розімкненої системи управління.

2. Результатом другого кроку є створення моделі замкненої системи «літак + автопілот». Далі ця модель використовується в програмі оптимізації та в програмі оцінювання .

3. На третьому кроці визначаються початкові величини параметрів автопілоту з огляду на запас стійкості замкненої системи, розраховуються полюса замкненої системи, необхідні для оцінки мінімальних і максимальних величин їхніх дійсних частин, а також максимальна величина відношення , і=1, 2 …n, де n – кількість полюсів замкненої системи; Im_i і Re_i – уявні та дійсні частини. Зазначені розрахунки необхідні для побудування штрафної функції .

Рис.12.1. Алгоритм виконання процедури параметричної оптимізації

4. Наступними етапами цього кроку є розрахунок показника якості, тобто Н₂-норми та створення програми оцінювання .

5. Крок, яким завершується програма оцінювання результатів, є розрахунок складного показника якості, який необхідно мінімізувати в ході виконання процедури оптимізації:

(12.1)

де - ваговий коефіцієнт; - штрафна функція.

6. Наступним кроком є створення програми для виконання процедури оптимізації за методом Нелдера-Міда.

7. Далі безпосередньо виконується процедура оптимізації.

8. Наступним кроком є виконання програми оцінювання. Тепер виконується перевірка умови, яка визначає, чи задовольняє показники якості наперед заданим вимогам до проектованої системи управління. Якщо результат може бути прийнятним з погляду вимог до якості, то процедура оптимізації на цьому успішно закінчується. У противному випадку необхідно вибрати інші вагові коефіцієнти у цільовій функції (12.1) (а іноді і обрати інші початкові параметри) та виконати програму оптимізації спочатку. Таким чином, процедура параметричної оптимізації може проводитись декілька разів до отримання результатів, що задовольняють наперед заданим технічним вимогам до системи управління. Даний алгоритм представлено на рис.12.1. Розглянемо виконання процедури оптимізації методом Нелдера-Міда.

J J(K₁,K₂)

K₁

K₂

Рис.12.2 . Екстремум функції

, де J(К1,К2) - показник якості, K= , К1, К2 - коефіцієнти параметрів. Необхідно знайти K^*= , де K^* забезпечує мінімум функції J(К1,К2). На рис.12.2 видно, що функція J(К1,К2) є опукла і має тільки один екстремум (у даному випадку мінімум). Значення стаціонарної точки функції невідомо. Стаціонарна точка функції – це точка, при досягненні якої припиняється рух по градієнту. Забезпечити збіжність градієнта проблемно, тому використовується метод Нелдера - Міда. Спроектуємо замкнуті криві, отримані від перетинання площин з функцією J(К1,К2) на площину К1,К2 (рис.12.3,а). Одержимо еквіпотенціальні лінії (рис.12.3,б), тобто лінії рівних значень, J1<J2<J3...

J

J₃

J₂

J₃

K₁

K₂ a)

K₂ J₂,J₃

J₁

K₁

б)

Рис.12.3. Ілюстрація методу Нелдера-Міда

Алгоритм виконання оптимізаційної процедури методом Нелдера-Міда:

1. Визначається значення функції J у точках симплекса ( ). Симплекс – це замкнута фігура, число вершин якої на одиницю більше розмірності простору, у якому цей симплекс задається.

2. З трьох вершин симплекса вибирається та, у якої значення функції J є максимальним, і симплекс дзеркально відображається щодо цієї точки.

3. Повторити пункт 1 і пункт 2. Симплекс продовжує перекладатися доти, поки не накриє экстремум. У процесі руху до экстремуму обсяг симплекса скорочується (стискується). Це умова необхідна для того, щоб не пропустити экстремум, накрити його з максимальною точністю. Як тільки умова (12.2) виповнюється, зменшується довжина сторони симплекса і весь його обсяг скоротиться.

, (12.2)

де e - припустимий поріг, - збільшення, d - довжина сторони симплекса.

Для виконання процедури оптимізації треба забезпечити стійкість замкнених систем (як неперервних, так і дискретних) при всіх можливих варіаціях параметрів регулятора. З цією метою до показника якості додається штрафна функція, яка забезпечує знаходження всіх полюсів замкненої системи у лівій напівплощині комплексної площини для неперервних систем або у колі одиничного радіуса для дискретних систем. Область штрафних функцій на комплексній площині коренів відрізняється для неперервних і дискретних систем. Безпосередньо ж вигляд штрафної функції за порушення допустимих меж розташування коренів є тим самим, як для неперервної, так і для дискретної системи. На рис.12.4. зображено штрафну функцію для неперервних систем. Площа, обмежена на рис. 12.4 чіткими лініями, характеризується трьома параметрами, а саме: відстанями d_m1, d_m2 та кутом a. Ці параметри відповідно характеризують мінімальну величину дійсної частини полюсів системи, що забезпечує деякий запас для границь стійкості; смугу пропускання замкненої системи; коливання замкненої системи.

Отже, штрафна функція повинна дорівнювати нулю усередині площі та значно зростати за її межами. Таким чином, під час процедури оптимізації за умови існування штрафної функції при всіх змінюваннях параметрів система буде знаходитись в області змінних компонентів.

Розглянемо процедуру параметричної оптимізації на прикладі оптимізації ПІД-регулятора в пакеті програм MATLAB. Як було сказано вище, необхідно створити три програми. Представимо першу програму, в якій задається функція, яку необхідно мінімізувати в ході виконання оптимізаційної процедури. За допомогою оператора function задаємо функцію, яку необхідно мінімізувати: function J=pidop(p)

Передавальними функціями W1 та W2 представлено відповідно об’єкт та регулятор. Зазначимо, що параметри регулятора не відомі, задана лише його структура.

W1=tf(100*[0.1 1],[0.02 0.3 1]);

W2=tf([p(1) p(2) p(3)],[1 0]);

Створюємо замкнену модель системи, переводимо її в простір стану.

W3f=feedback(W1,W2);

[num1,den1]=tfdata(W3f,'v');

[A,B,C,D]=tf2ss(num1,den1);

Обчислюємо власні числа замкненої системи та показник якості.

R=eig(A);

H2=normh2(A,B,C,D);

Вводимо штрафну функцію.

d=max(real(R))

if d <=-0.01

PF=0;

elseif d >-0.01

PF=100000;

End; PF

Водимо складний показник якості, який необхідно мінімізувати в ході виконання оптимізаційної процедури: J=H2+PF+norm(p)

Задаємо другу програму, яка є безпосередньо оптимізаційною програмою: p=[0.1, 0.1, 0.003]; p=fminsearch('pidop',p)

Вектор р-вектор початкових параметрів регулятора. За допомогою оператора fminsearch оптимізація виконується методом Нелдера-Міда. Наступною програмою є програма оцінювання результатів виконання оптимізаційної процедури. Задається вектор параметрів регулятора р, який ми отримали в ході виконання оптимізаційної процедури.

%p(1)=0.035 - dif, p(2)=0.15-prop, p(3)=0.003 -int;

p =[ 0.7031 0.6991 0.0070];

Передавальними функціями W1 та W2 представлено відповідно об’єкт та регулятор.

W1=tf(100*[0.1 1],[0.02 0.3 1]); W2=tf([p(1) p(2) p(3)],[1 0]);

Створюємо розімкнену та замкнену моделі системи.

W3=W1*W2; W3f=feedback(W1,W2);

Переводимо замкнену модель в простір стану. Обчислюємо власні числа замкненої системи та показник якості.

[num1,den1]=tfdata(W3f,'v')

[A,B,C,D]=tf2ss(num1,den1); R=eig(A)

H2=normh2(A,B,C,D)

Будуємо перехідну характеристику замкненої системи.

step(feedback(W3,1)),grid on

Якщо результат може бути прийнятним з погляду вимог до якості, то процедура оптимізації на цьому успішно закінчується. У противному випадку необхідно вибрати інші вагові коефіцієнти у цільовій функції (12.1) (а іноді і обрати інші початкові параметри) та виконати програму оптимізації спочатку.

Переглядів: 402