Студопедия
Новини освіти і науки:
Контакти
 


Тлумачний словник






Критерій вірогідності різниці двох середніх значень (критерій Стьюдента)

Однією з важливих задач біологічного дослідження є отримання даних про результати дії зовнішніх факторів на живий об’єкт. Для проведення дослідів вибираються дві групи об’єктів (не обов’язково однієї чисельності), одна з яких є піддослідною, а інша – контрольною.

Наприклад, необхідно виявити ефективність застосування деякого препарату, що має метою підвищення опору організму по відношенню до конкретної інфекції.

Дослід може бути поставлений так: беруть дві групи тварин. Тваринам однієї групи препарат вводять, а іншим – не вводять. Перша група буде піддослідною, а друга – контрольною. Потім тваринам обох груп вводять інфекцію і спостерігають, скільки днів переживуть тварини піддослідної групи і контрольної.

У таблиці зведені результати досліду:

Число днів n M m
Дослід 6,25 1,25 0,22
Контроль     5,22 0,97 0,2

З таблиці видно, що середні значення для піддослідної і контрольної груп не співпадають. Але це недостатньо для доведення ефективності препарату.

Насправді, кожна група тварин є випадковою вибіркою з генеральної сукупності. Та , як відомо, для різних вибірок, отриманих з однієї і тієї ж генеральної сукупності, середні арифметичні будуть різними.

Покажемо це на простому прикладі.

Нехай є генеральна сукупність, яка складається з 5 варіант (N=5).

xi : 8, 16, 20, 24, 32.

(Числа можуть позначати висоту рослин у сантиметрах).

Замінимо вивчення усієї генеральної сукупності вивченням вибірок з неї об’ємом n=4. Ось ці вибірки: 1) 8, 16, 20, 24;

2) 8, 16, 20, 32;

3) 8, 16, 24, 32;

4) 8, 20, 24, 32;

5) 16, 20, 24, 32.

Обчислюючи для кожної вибірки середнє арифметичне, отримуємо такі значення: М1=17, М2=19, М3=20, М4=21, М5=23.)

Тому виникає питання: чи вважати розбіжність між середніми значеннями в піддослідній і контрольній групах просто розбіжністю між двома вибірковими середніми, чи ця розбіжність обумовлена ефективною дією препарату? Або, інакше кажучи, чи можливо узагальнити висновок про ефективність препарату і розглядати вибірки піддослідної і контрольної груп, як вибірки з різних генеральних сукупностей?

Таке питання відноситься до проблем вірогідності різниці середніх арифметичних.

Розглянемо загальний метод розв’язання цієї проблеми.

Починають з припущення, що обидві вибірки зроблені з однієї генеральної сукупності. Тоді різниця між вибірковими середніми пояснюється існуванням такої різниці взагалі. Таке припущення називають нульовою гіпотезою і позначають Н0.

Далі обчислюють ймовірність того, що при умові правильності нульової гіпотези, розбіжність між вибірковими середніми (М1 – М2) може досягти тієї величини, яка є. Якщо ця ймовірність виявиться малою, то нульова гіпотеза відкидається. Граничне допустиме значення ймовірності називають рівнем значущості і позначають a . Яке ж значення ймовірності вважати малим? Як правило, вибирають одне з таких значень a = 0,05 = 5 %, a = 0,01 = 1 %, a = 0,001 = 0,1 %. Різниця між вибірковими середніми вважається значущою (тобто, реальною), якщо ймовірність правильності нульової гіпотези менша за рівень значущості. У такому разі нульова гіпотеза відкидається.

Вибір того чи іншого конкретного значення a визначається конкретними задачами дослідника. Наприклад, якщо досліджується новий лікарський засіб і треба довести його нешкідливість для життя, то навіть рівень значущості 0,001 буде зависоким. Навпаки, якщо мова йде про підвищення продуктивності стада за рахунок недорогої зміни раціону, то достатньо і невеликої впевненості у позитивному результаті.

Критерій, який дозволяє визначити вірогідність різниці вибіркових середніх, був сформульований англійським математиком Вільямом Госсетом ( 1876 – 1937), який працював під псевдонімом Стьюдента. Критерій носить назву критерію Стьюдента.

Згідно з ним обчислюється величина t = , яка потім порівнюється з табличною величиною tst.

Чисельник d – різниця між середніми арифметичними двох вибіркових груп ( знак різниці значення не має: d = | М1 –М2|), md = - помилка вибіркової різниці; m1,m2 – помилки репрезентативності порівнюваних вибіркових середніх (m1 = , m2 = , - середні квадратичні відхилення відповідних вибірок, n1, n2 – об’єми вибірок).

За таблицею 1 визначається значення tst, яке залежить від двох параметрів:

величини n = n1+n2-2 (n називається числом степенів волі) і ймовірності Р=1-a (ймовірність впевненості у неправильності нульової гіпотези).

Якщо t £ tst, то нульова гіпотеза приймається ( згідно прикладу це означає, що препарат не ефективний). Якщо ж t > tst, то Н0 відкидається.

Приклад 4.

За даними прикладу 3 , оцінимо ефективність препарату, використовуючи критерій Стьюдента. Гіпотеза Н0: препарат не ефективний.

Середнє арифметичне значення кількості днів, які пережили тварини піддослідної групи М1 = 6,25, а контрольної М2 = 5,22. Кількість тварин піддослідної групи (об’єм вибірки) n1 = 32, а контрольної n2= 23. Середні квадратичні відхилення s1 =1,25, s2 = 0,97. Помилки репрезентативності:

m1 =0,22, m2 = 0,2. Отже, згідно критерію Стьюдента обчислюємо величину t = , де d = | М1 –М2| = | 6,25 – 5,22 | = 1,03; md = = = »0,297.

 

t = »3,47.

За таблицею 1 визначимо значення величини tst . Число степенів волі

n = n1 + n2 – 2=32+23 -2= 53»50.

При різних рівнях значущості, маємо t 0,05 = 2,01; t 0,01 = 2,68; t 0,001 = 3,5.

Так як t > t 0,01, то нульова гіпотеза відкидається з ймовірністю 0,99.

Висновок: препарат можна вважати ефективним у 99%.

 




<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Помилка вибіркової середньої арифметичної | Метод j (фі)

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:


 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.002 сек.