Теоретичні відомості

Розв’язання практичних інженерних задач у багатьох випадках зводиться до розв’язання диференційних рівнянь з частковими похідними.

Якщо розв’язок рівняння шукається у обмеженій області, то задаються умови на її межі, так звані межові (крайові) умови. Такі задачі називають крайовими задачами для рівнянь з частковими похідними.

Диференційні рівняння з частковими похідними виду

називають рівняннями Лапласа.

Розглянемо двомірне рівняння Лапласа

(1)

Розв’язок цього рівняння будемо шукати для деякої обмеженої області зміни значень незалежних змінних . Межею області є замкнена лілія . Межові умови задаються у вигляді

(2)

Задача, яка полягає у розв’язанні рівняння Лапласа за відомих значень шуканої функції на межі розрахункової області, називають задачею Діріхле.

Одним з методів розв’язання задачі Діріхле є побудова різницевої схеми шляхом апроксимації рівняння (1). Для цього у області розв’язку вводять різницеву сітку з кроком h за допомогою координатних прямих та .

Значення функції у вузлах сітки замінюють значеннями сіткової функції . Апроксимуючи другі похідні у рівнянні (1) за допомогою співвідношень кінцевих різниць (шаблон зображений на рис. 10), отримують різницеве рівняння:

Дане рівняння можна представити у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно значень сіткової функції у вузлах. Система матиме вигляд:

Значення сіткової функції у вузлах, розташованих на межі області розв’язку, знаходять із межових умов (2):

, , , .

Одним з методів розв’язання отриманої системи лінійних алгебраїчних рівнянь є ітераційний метод. Ітераційний процес контролюється максимальним відхиленням значень сіткової функції у вузлах для двох послідовних ітерацій. Якщо його величина досягне деякого заданого малого числа Ɛ, ітерації зупиняються.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Тема: Рівняння з частковими похідними	\|	Зразок виконання завдання

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.016 сек.