• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Зразок виконання завдання

Завдання: Використовуючи метод сіток, скласти наближений розв’язок

задачі Діріхле для рівняння Лапласа у квадраті АВСD з вершинами , , , із заданими межовими умовами ; крок h=0.2.Відповідь датиз точністю до 0.01.

Розв’язання:

Побудуємо область розв’язку, тобто введемо у квадраті АВСD сітку з кроком h=0.2. Вузли сітки є розрахунковими точками (рис. 11):

Рис. 11. Сітка області розв’язку

Значення функції на стороні AB (рис. 2) шукаємо за формулою Маємо:

На стороні BС: Маємо:

На стороні BС: Отже:

На стороні AD: Маємо:

Відмітимо на сітці знайдені межові значення та шукані значення функції (рис. 12):

Рис. 12. Розрахункові точки області розв’язку

Для визначення значень функції у внутрішніх точках області розв’язку методом сіток задане рівняння Лапласа у кожній точці замінимо кінцево-різницевим рівнянням за формулою

За цією формулою складемо рівняння для кожної внутрішньої точки сітки. В результаті отримаємо систему рівнянь:

Розв’язок цієї системи будемо шукати ітераційним методом Гауса-Зейделя. Розрахункові співвідношення матимуть вигляд:

Для проведення обчислень за цими формулами необхідно визначити початкові наближення . Припустимо, що функція по горизонталях області розв’язку розподілена рівномірно.

Розглянемо горизонталь з граничними точками (0, 0.2) та (1, 0.2). Шукані значення функції у внутрішніх точках позначимо через . Оскільки відрізок поділений на 5 частин, то крок зміни функції знаходимо зі співвідношення

Тоді отримаємо

Аналогічні міркування проведемо для знаходження початкових наближень у внутрішніх точках інших горизонталей.

Для другої горизонталі з граничними точками (0, 0.4) та (1, 0.4) маємо

Отже,

Значення у граничних точках третьої горизонталі такі самі, як й для другої. Тому,

Нарешті, значення у граничних точках четвертої горизонталі такі самі, як й для першої. Отже,

Всі отримані значення розміщуємо у таблиці, яку називають нульовим шаблоном:

Для кожного нового наближеного розв’язку задачі складаємо таблицю, що міститиме лише внутрішні значення, які змінюються в процесі обчислень. Ці таблиці називають шаблонами.

Отримаємо наступну послідовність шаблонів:

Ітераційний процес зупиняємо, оскільки шаблони №15 та №14 містять послідовні наближення, відхилення між якими стали меншими за 0.01 (задану точність). Результат округлюємо до сотих долей.

Відповідь:

Переглядів: 395