• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Суть гетероскедастичності

Узагальнений метод найменших квадратів

Умова гомоскедастичності є головною для лінійної класичної моделі і записується як

(18.5)

Для лінійних моделей з властивістю випадкового вектора , коли

(18.6)

(матриця є симетричною, додатньо визначеною матрицею n-го порядку) неможливим є використання звичайного МНК з метою визначення статистичних оцінок, як це було здійснено для лінійної класичної моделі. В такому випадку використовують так званий узагальнений метод найменьших квадратів (УМНК).

Нехай досліджується лінійна модель

(18.7)

з порушенням умови гомоскедастичності, а саме

(18.8)

Тоді додатньо визначена матриця допускає існування такої невиродженої матриці , що

(18.9)

Із (18.9) буде випливати

(18.10)

Таким чином, одержимо

(18.11)

Враховуючи (18.11) для моделі (18.7) здійснимо таке перeтворення: ліву і праву частини рівняння помножимо зліва на матрицю .

(18.12)

Позначивши

(18.13)

Одержимо

(18.14)

Здійснивши перевірку моделі на наявність гетероскедастичності, маємо:

1. ,

2.

.

Таким чином, виявилось, що перетворена модель (18.14) є гомоскедастичною, а тому для визначення статистичних оцінок цієї моделі можемо використати звичайний МНК, як для класичної лінійної моделі і одержимо

(18.15)

Враховуючи (18.13) маємо:

Коваріаційна матриця вектора буде дорівнювати:

Таким чином, одержали:

(18.16)

(18.17)

Розглянутий метод перетворення початкової моделі (18.7) із подальшим використанням звичайного МНК до моделі (18.14) для визначення , дістав назву узагальненого методу найменших квадратів (УМНК).

Але при цьому слід наголосити, що для реалізації УМНК необхідно знати елементи матриці , що на практиці є справою дуже складною. А тому цей метод, певною мірою, виконує чисто ілюстративну функцію в економетрії.

Для практичного використання цього методу необхідно накласти певні умови на структуру матриці .

Розглянемо моделі, що належать до першої групи моделей з порушенням передумов використання звичайного МНК.

При здійсненні вибірки ми маємо справу з конкретними реалізаціями залежної змінної Y і відповідними значеннями пояснюючих змінних (регресорів), при цьому завжди буде присутній фактор випадкових збурень, що породжують відхилення .

Випадковi величини апріорно можуть набувати довільних значень, що підпорядковані певним імовірним розподілам. Однією з головних вимог до цих розподілів є рівність їх дисперсій.

Цю вимогу потрібно розуміти так: не зважаючи на те, що при кожному конкретному спостереженні випадкові відхилення будуть між собою відрізнятися, не повинно існувати причини, яка б спонукала значну розбіжність між цими величинами. Тобто похибки в середньому для всіх спостережень повинні мало відрізнятися. Звичайно, в певному розумінні, тут припускається ідеалізація ситуації. Така ідеальна ситуація в реальних умовах не спостерігається. Часто, при реалізації спостережень в одних і тих самих умовах, відхилення будуть суттєво відрізнятися між собою, тобто в одних спостереженнях вони виявляються відносно великими, в інших – малими.

Так, наприклад, нехай залежність витрат на споживання (Y) середньостатистичного суб’єкта від його доходів (Х) описується парною лінійною регресією

(18.18)

Розглянемо для цієї моделі два випадки (рис.18.1 а, б):

1) умова гомоскедастичності виконується;

2) умова гомоскедастичності не виконується (наявна гетероскедастичність). В цьому випадку можуть виникати проблеми, пов’язані з ефектом масштабу (різних одиниць виміру). У часових рядах явище гетероскедастичності пов’язане з тим, що одні й ті самі показники розглядаються в різні моменти часу (наприклад чистий експорт, темпи інфляції в певному регіоні за певний проміжок часу).

Рисунок 18.1а

Рисунок 18.1б

За наявності гетероскедастичності (моделі першої групи) статистична оцінка дисперсії обчислена за формулою

, (18.19)

де n – кількість спостережень, m – кількість регресорів в моделі, яка використовується для визначення дисперсій для всіх емпіричних коефіцієнтів не буде незміщеною. Тоді t-статистика, F-статистика, інтервальні оцінки параметрів моделі стануть ненадійними.

Отже використання звичайного МНК при наявності гетероскедастичності в моделі буде неефективним. Це добре ілюструється на прикладі парної лінійної регресії, графік якої зображено на рис. 18.2.

Рисунок 18.2

За МНК маємо суму квадратів похибок

. (18.20)

Очевидно, що кожне конкретне значення в наведеній сумі (18.20) має одинакову, так би мовити, “питому вагу”, незалежно від того, чи одержали його при значенні (де є мала дисперсія), чи при значенні (де наявна велика дисперсія), що звичайно суперечить здоровому глузду, оскільки точка, одержана із розподілу точніше визначає напрямок (тенденцію) лінії регресії, ніж точка, одержана при .

Тому, якщо поталанить врахувати “питому вагу” всіх точок , то це дозволить одержати ефективніші (доброякісні) (більш ефективні) статистичні оцінки.

Переглядів: 600