Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Суть гетероскедастичності

Узагальнений метод найменших квадратів

Умова гомоскедастичності є головною для лінійної класичної моделі і записується як

(18.5)

Для лінійних моделей з властивістю випадкового вектора , коли

(18.6)

(матриця є симетричною, додатньо визначеною матрицею n-го порядку) неможливим є використання звичайного МНК з метою визначення статистичних оцінок, як це було здійснено для лінійної класичної моделі. В такому випадку використовують так званий узагальнений метод найменьших квадратів (УМНК).

Нехай досліджується лінійна модель

(18.7)

з порушенням умови гомоскедастичності, а саме

(18.8)

Тоді додатньо визначена матриця допускає існування такої невиродженої матриці , що

(18.9)

Із (18.9) буде випливати

(18.10)

Таким чином, одержимо

(18.11)

Враховуючи (18.11) для моделі (18.7) здійснимо таке перeтворення: ліву і праву частини рівняння помножимо зліва на матрицю .

(18.12)

Позначивши

(18.13)

Одержимо

(18.14)

Здійснивши перевірку моделі на наявність гетероскедастичності, маємо:

1. ,

Таким чином, виявилось, що перетворена модель (18.14) є гомоскедастичною, а тому для визначення статистичних оцінок цієї моделі можемо використати звичайний МНК, як для класичної лінійної моделі і одержимо

(18.15)

Враховуючи (18.13) маємо:

Коваріаційна матриця вектора буде дорівнювати:

Таким чином, одержали:

(18.16)

(18.17)

Розглянутий метод перетворення початкової моделі (18.7) із подальшим використанням звичайного МНК до моделі (18.14) для визначення , дістав назву узагальненого методу найменших квадратів (УМНК).

Але при цьому слід наголосити, що для реалізації УМНК необхідно знати елементи матриці , що на практиці є справою дуже складною. А тому цей метод, певною мірою, виконує чисто ілюстративну функцію в економетрії.

Для практичного використання цього методу необхідно накласти певні умови на структуру матриці .

Розглянемо моделі, що належать до першої групи моделей з порушенням передумов використання звичайного МНК.

При здійсненні вибірки ми маємо справу з конкретними реалізаціями залежної змінної Y і відповідними значеннями пояснюючих змінних (регресорів), при цьому завжди буде присутній фактор випадкових збурень, що породжують відхилення .

Випадковi величини апріорно можуть набувати довільних значень, що підпорядковані певним імовірним розподілам. Однією з головних вимог до цих розподілів є рівність їх дисперсій.

Цю вимогу потрібно розуміти так: не зважаючи на те, що при кожному конкретному спостереженні випадкові відхилення будуть між собою відрізнятися, не повинно існувати причини, яка б спонукала значну розбіжність між цими величинами. Тобто похибки в середньому для всіх спостережень повинні мало відрізнятися. Звичайно, в певному розумінні, тут припускається ідеалізація ситуації. Така ідеальна ситуація в реальних умовах не спостерігається. Часто, при реалізації спостережень в одних і тих самих умовах, відхилення будуть суттєво відрізнятися між собою, тобто в одних спостереженнях вони виявляються відносно великими, в інших – малими.

Так, наприклад, нехай залежність витрат на споживання (Y) середньостатистичного суб’єкта від його доходів (Х) описується парною лінійною регресією

(18.18)

Розглянемо для цієї моделі два випадки (рис.18.1 а, б):

1) умова гомоскедастичності виконується;

2) умова гомоскедастичності не виконується (наявна гетероскедастичність). В цьому випадку можуть виникати проблеми, пов’язані з ефектом масштабу (різних одиниць виміру). У часових рядах явище гетероскедастичності пов’язане з тим, що одні й ті самі показники розглядаються в різні моменти часу (наприклад чистий експорт, темпи інфляції в певному регіоні за певний проміжок часу).

Рисунок 18.1а

Рисунок 18.1б

За наявності гетероскедастичності (моделі першої групи) статистична оцінка дисперсії обчислена за формулою

, (18.19)

де n – кількість спостережень, m – кількість регресорів в моделі, яка використовується для визначення дисперсій для всіх емпіричних коефіцієнтів не буде незміщеною. Тоді t-статистика, F-статистика, інтервальні оцінки параметрів моделі стануть ненадійними.

Отже використання звичайного МНК при наявності гетероскедастичності в моделі буде неефективним. Це добре ілюструється на прикладі парної лінійної регресії, графік якої зображено на рис. 18.2.

Рисунок 18.2

За МНК маємо суму квадратів похибок

. (18.20)

Очевидно, що кожне конкретне значення в наведеній сумі (18.20) має одинакову, так би мовити, “питому вагу”, незалежно від того, чи одержали його при значенні (де є мала дисперсія), чи при значенні (де наявна велика дисперсія), що звичайно суперечить здоровому глузду, оскільки точка, одержана із розподілу точніше визначає напрямок (тенденцію) лінії регресії, ніж точка, одержана при .

Тому, якщо поталанить врахувати “питому вагу” всіх точок , то це дозволить одержати ефективніші (доброякісні) (більш ефективні) статистичні оцінки.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Моделі з порушенням передумов використання звичайного методу найменших квадратів	\|	Розв’язання

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.