• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Загальний розв'язок і загальний інтеграл. Частинний та особливий розв'язки. Проміжні та перші інтеграли.

Задача Коші, єдиність розв'язку задачі Коші.

Розглянемо диференційне рівняння (4.2) і поставимо задачу Коші: серед всіх розв'язків диференційного рівняння (4.2) знайти такий y=y(x), який задовольняє умовам

y(x₀)=y₀, y`(x₀)=y₀,…,y^(n-1)(x₀)=y₀^n-1 , де x₀,y₀,y_­0¹, y_­0²,…,y₀^n-1 –задані числа, (4.15)

x₀ – початкове значення незалежної змінної,

y₀,y₀¹, …y₀^n-1 –початкові данні.

Для диференційного рівняння другого порядку

(4.17)

задача Коші заключається в тому, щоб знайти такий розв'язок диференційного рівняння (4.17), який би задовольняв умовам:

, . (4.18)

Геометрично задача полягає в тому, щоб знайти таку криву y=y(x), яка задовольняє диференційне рівняння (4.18), проходить через точку M(x₀,y₀) і має заданий напрямок дотичної .(мал 4.2)

Механічнийзміст задачі Коші.

, , (4.19)

Зайти ту траекторію механічної системи, яка представляється диференційним рівнянням (4.19), і має в t₀ фіксоване положення x₀ і швидкість V₀.

Розглянемо питання єдиності та існування розв'язку задачі Коші(4.2)(4.16). Єдиність для диференційного рівняння (4.2) не означає, що через т.М(x₀,y₀)проходить тільки одна інтегральна крива. Наприклад, для диференційного рівняння (4.17) єдиність розуміється в тому сенсі, що через т.М(x₀,y₀) проходить єдина інтегральна крива (мал 4.2) з заданим нахилом дотичної, а через точку М(x₀,y₀) можуть проходити і інші інтегральні криві, які мають інші нахили дотичної.

Теоремапро достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші (теорема Пікара)

Необхідні умови існування розв'язку задачі Коші (4.2),(4.16) – права частина (4.2) неперервна в околі початкових даних по всім аргументам.

Теорема. Розглянемо задачу Коші (4.2)(4.16) Припустимо, що функція f(x,y,y`,…,y^(n-1)) визначає в деякій замкненій обмеженій області

R:, ,,,…, (4.20)

(a,b- додатні дійсні числа) і задовільняє в цій області умовам:

1) Функція f(x,y,y`,…,y^(n-1)) є неперервною посвоїм аргументам, а отже обмеженою:

(4.21)

(тут M>0 –константа );

2) Функція f(x,y,y`,…,y<sup>(n-1)</sup>) має обмежені часткові похідні по змінним Функція y,y`,…,y^(n-1), тобто , l=0,1,2,…,(n-1); (y,y`,…,y^(n-1)) , (4.22)

де K – константа.

При цих припущеннях диференційне рівняння (4.2) має єдиний розв'язок, який задовольняє умовам (4.16) і є неперервним разом з усіма своїми похідними до n-го порядку включно на інтервалі (4.23)

З теореми випливає, що для поліноміальної правої частини диференційного рівняння (4.2) розв'язок задачі Коші з довільним початковими умовами існує і є єдиним.

Загальним розв'язком диференційного рівняння назвемо сімейство розв'зків, яке залежить від n довільних констант c₁,…,c_n

y=y(x, c₁,…,c_n ) (4.24)

Геометрично воно представляє сімейство інтегральних крівих на площині (x,y), залежне від n параметрів c₁,…,c_n , причому рівняння цього сімейсва розв'язано відносно y.

Розглянемо область D в просторі (x,y,y`,…,y^(n-1)), в кожній точці якої виконуються умови теореми про існування і єдиність задачі Коші.

Переглядів: 1484