• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Остаточно маємо

Ф-я

являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами

яким відповідають константи

Для обчислення використовують ф-лу Коші

(4.42)

Дійсно інтеграл

можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).

Міняючи порядок інтегрування, отримаємо

Аналогічно обчислюємо

.. і. т. д.

Приходимо до ф-ли (4.42)

Таким чином розвязок (4.41) записується у вигляді

Загальний розвязок ДР (4.38) можна також записати через невизначений інтеграл

Пр. 4.4 Розвязати рівняння

Послідовно знаходимо ,

б) Розглянемо випадок (4.43)

в якому співвіднощення (4.43) не можна розвязати відносно в елементарних ф-ях, або вирази для будуть досить складними.

Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44)

(4.44),

де та такі, що

Проводимо обчислення ,

Аналогічно обчислюємо

(4.45) -загальний зорвязок в параметричній формі.

Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується

I.(4.46)(частинні випадки )

II. (4.47), де і -однорідні ф-ї відповідного

виміру і .

Покладемо (4.48)

і розвяжемо р-ня (4.47) відносно через :

Піставляючи в (4.48), отримаємо (4.49)

Дальше вищеотриманим способом знаходимо загальний розвязок в параметричній формі.

Пр. 4.5 Розвязати р-ня

Зробимо заміну

остаточно маємо

2. Інтегрування ДР, які не містять шуканої ф-ї та похідної.

Розглянемо ДР (4.50), в якому є .

Введемо нову змінну (4.51)

отримаємо (4.52)

тобто ми понизили порядок ДР (4.50) на одиниць.

Припустимо, що ми розвязали ДР (4.52) і визначили (4.53)

Тоді р-ня (4.54)

інтегруємо і отримаємо загальний розвязок (4.55)

Якщо замість загального розвязку (4.53) можна знайти загальний інтеграл (4.54)

то отримаємо ДР типу (4.43)

Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50) :

а) ДР вигляду

якщо ДР (4.51) можна розвязати відносно :

(4.52)

то поклавши перейдемо до р-ня

Якщо - загальний розвязок останнього р-ня, то остотаточно маємо р-ня вигляду (4.38)

Припустимо, що ДР (4.51) не можна записати в вигляді (4.52), але воно допускає параметризацію (4.53)

то з співвідношення знаходимо

Звідки (4.54)

ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній формі.

б) ДР вигляду (4.55)

Нехай ДР (4.55) можно розвязати відносно

(4.56)

Позначимоі перейдемо до ДР (4.57)

Домножимо (4.57) на :

Звідки . Отже

з якого визначимо

.

Останнє ДР є р-ням з відокремлюваними змінними.

Знайшовши з нього

ми остаточно переходимо до ДР вигляду (4.38).

(4.58)

Припустимо, що ДР (4.55) не можна розвязати відносно але для нього можлива параметризація

Запишемо співвідношення

Домножимо першу рівність на :

Звідки.

Отже маємо

Прийшовши до отсанньої рівності ми отримаємо а)

3. Пониження порядку ДР які не містять незалежної змінної.

Ці ДР мають вигляд (4.59)

і його можна понизити на один порядок заміною

При цьому стане незалежною зміною, а - функцією

Обчислюємо

…..

і остаточно прийдемо до ДР порядку

Якщо - розвязок ДР (4.60) то

Інтегруємо ДР (4.61) і знайдемо загальний інтеграл.

Особливі зорвязки можуть появлятися при інтегруванні ДР (4.61). При переході до ДР (4.60) ми можимо загубити розвязки .

Для їх знаходження необхідно розвявати р-ня .

Якщо - розвязок однорідного р-ня, то - розвязок ДР (4.59)

Пр. 4.6 Розвязати р-ня

Вводимо змінну , ,

,

звідки , отже, ,

-загальний інтергал рівняння.

4. Однорідні ДР відносно шуканої ф-ї та її похідних.

Так називаються ДР вигляду в якому являється однорідною ф-єю відносно , тобто маємо

Шляхом заміни ДР (4.62) можна понизити на один порядок.

Обчислюємо

Тому ДР (4.62) прийме вигляд

(4.63)

Скорочуючи на ( при може бути розвязком ДР (4.62)), перейдемо до ДР порядку .

Якщо – загальний розвязок останнього ДР, то

звідки (4.64) – загальний розвязок ДР (4.62). Розвязок міститься в формулі (4.64) при .

Пр 4.7 Знайти загальний розвязок ДР

Це ДР являється однорідним відносно шуканої ф-ї і її похідних, тому .

Маємо ДР Бернулі – .

Інтегруючи отрімаємо , Звідки . Наше ДР має розвязок який не міститься в знайденому загальному інтергалі.

4. ДР, ліва частина якого є точна похідна.

Припустимо, що ДР (4.62), його ліва частина, є точна похідна по від деякої ф-ї , тобто ,

тоді ДР (4.62) має перший інтерграл (4.64) так, що яого порядок можна понизити на одиницю.

Пр 4.8 Розвязати ДР

Маємо , ,, – загальний інтеграл. Якщо ліва частина ДР (4.62) не являється точною похідною, то в деяких випадках можна знайти ф-ю , після домноження на яку р-ня (4.62), його ліва частина буде точною похідною. Ця ф-я називається інтергрувальним множником. Якщо ми знаємо ф-ю , то можна знайти не тільки перший інтеграл, а й особливі розвязки, які знаходяться з р-ня

Пр 4.9 Знайти загальний розвязок ДР .

Візьмемо , тоді .

При цьому , - розвязки нашого ДР.

Маємо .

- перший інтерал.

, загальний інтергал.

Особливих розвязків немає, так як ДР приводіть до розвязків , які містяться в загальному.

Читайте також:

1. Вибір остаточного варіанта плану лекції. Робота над формою викладу.
2. Крок 5. Прийняття остаточного рішення про надання допомоги.

Переглядів: 508