• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Логарифмічне диференціювання.

Похідна складної функції.

Похідні основних елементарних функцій.

Основні правила диференціювання.

Однобічні похідні функції в точці.

КУРС

ВИЩОЇ

МАТЕМАТИКИ

ЧАСТИНА 2

Диференціальне числення функції однієї змінної.

Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.

Визначення. Похідної функції f(x) у точці х = х₀ називається границя відносини приросту функції в цій точці до приросту аргументу, якщо він існує.

у

f(x)

f(x₀ +Dx) P

Df

f(x₀) M

a b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

Нехай f(x) визначена на деякому проміжку (a, b). Тоді – тангенс кута нахилу січної МР до графіка функції.

,

де a – кут нахилу дотичній до графіка функції f(x) у точці (x₀, f(x₀)).

Кут між кривими може бути визначений як кут між дотичними, проведеними до цих кривих у який-небудь точці.

Рівняння дотичної до кривої:

Рівняння нормалі до кривої: .

Фактично похідна функції показує начебто швидкість зміни функції, як змінюється функція при зміні змінної.

Фізичний зміст похідної функції f(t), де t – час, а f(t) – закон руху (зміни координат) – миттєва швидкість руху.

Відповідно, друга похідна функції – швидкість зміни швидкості, тобто прискорення.

Визначення. Правою (лівою) похідною функції f(x) у точці х = х₀ називається праве (ліве) значення границі відношення за умови, що це відношення існує.

Якщо функція f(x)має похідну в деякій точці х = х₀, то вона має в цій точці однобічні похідні. Однак, зворотне твердження невірне. По-перше функція може мати розрив у точці х₀, а по-друге, навіть якщо функція неперервна в точці х₀, вона може бути в ній не диференційована.

Наприклад: f(x) = ïxï – має в точці х = 0 і ліву й праву похідну, неперервна в цій точці, однак, не має в ній похідної.

Теорема. (Необхідна умова існування похідної) Якщо функція f(x) має похідну в точці х₀, то вона неперервна в цій точці.

Зрозуміло, що ця умова не є достатнім.

Позначимо f(x) = u, g(x) = v – функції, диференційовані в точці х.

1)(u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , якщо v ¹ 0

Ці правила можуть бути легко доведені на основі теорем про границі.

1) С¢ = 0; 9)

2) (x^m)¢ = mx^m–1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

Теорема.Нехай y = f(x); u = g(x), причому область значень функції u входить в область визначення функції f.

Тоді

Доведення.

(з врахуванням того, що якщо Dx®0, то Du®0, тому що u = g(x) – неперервна функція)

Тоді

Теорему доведено.

Розглянемо функцію .

Тоді ( , тому що .

З огляду на отриманий результат, можна записати .

Відношення називається логарифмічною похідною функції f(x).

Спосіб логарифмічного диференціюванняполягає в тому, що спочатку знаходять логарифмічну похідну функції, а потім похідну самої функції за формулою

Спосіб логарифмічного диференціювання зручно застосовувати для знаходження похідних складних, особливо показникових функцій, для яких безпосереднє обчислення похідної з використанням правил диференціювання видається трудомістким.

Переглядів: 1814