МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Диференціал функції.Похідна оберненої функцій. Похідна показниково-степеневої функції.
Функція називається показовою, якщо незалежна змінна входить у показник ступеня, і степеневою, якщо змінна є основою. Якщо ж і основа й показник степеня залежать від змінної, то така функція буде показниково-степеневою. Нехай u = f(x) і v = g(x) – функції, що мають похідні в точці х, f(x)>0. Знайдемо похідну функції y = uv. Логарифмуючи, одержимо:
ln y = v ln u
Приклад. Знайти похідну функції .
За отриманою вище формулою одержуємо: Похідні цих функцій: Остаточно:
Нехай потрібно знайти похідну функції у = f(x)за умови, що обернена їй функція x = g(y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці. Для розв’язання цієї задачі диференціюємо функцію x = g(y) по х:
оскільки g¢(y) ¹ 0
тобто похідна оберненої функції обернена за величиною похідною даної функції.
Приклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.
Функція arctg є функцією, зворотною функції tg, тобто її похідна може бути знайдена в такий спосіб:
Відомо, що За наведеною вище формулою одержуємо:
Оскільки то можна записати остаточну формулу для похідної арктангенса:
У такий спосіб отримані всі формули для похідних арксинуса, арккосинуса й інших зворотних функцій, наведених у таблиці похідних.
Нехай функція y = f(x) має похідну в точці х:
Тоді можна записати: , де a®0, при Dх®0. Отже: . Величина aDx – нескінченно мала більш високого порядку, чим f¢(x)Dx, тобто f¢(x)Dx – головна частина приросту Dу.
Визначення. Диференціалом функції f(x) у точці х називається головна лінійна частина приросту функції. Позначається dy або df(x). З визначення треба, що dy = f¢(x)Dx або
. Можна також записати: Геометричний зміст диференціала. y f(x) K dy M Dy L
a x x + Dx x
Із трикутника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx Таким чином, диференціал функції f(x) у точці х дорівнює приросту ординати дотичній до графіка цієї функції в розглянутій точці.
Властивості диференціала.
Якщо u = f(x) і v = g(x) –- функції, диференційовані в точці х, то безпосередньо з визначення диференціала випливають наступні властивості:
1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ±dv
2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv 3) d(Cu) = Cdu
4)
Диференціал складної функції. Інваріантна форма запису диференціала. Нехай y = f(x), x = g(t), тобто у – складна функція.
Тоді dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.
Видно, що форма запису диференціала dy не залежить від того, чи буде х незалежної змінної або функцією якоїсь іншої змінної, у зв'язку із чим ця форма запису називається інваріантною формою запису диференціала.
Однак, якщо х – незалежна змінна, то dx = Dx, але якщо х залежить від t, то Dх ¹ dx. У такий спосіб форма запису dy = f¢(x)Dx не є інваріантною.
Приклад. Знайти похідну функції .
Спочатку перетворимо дану функцію:
Приклад. Знайти похідну функції .
Приклад. Знайти похідну функції
Приклад. Знайти похідну функції
Приклад. Знайти похідну функції .
Читайте також:
|
||||||||
|