• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Диференціал функції.

Похідна оберненої функцій.

Похідна показниково-степеневої функції.

Функція називається показовою, якщо незалежна змінна входить у показник ступеня, і степеневою, якщо змінна є основою. Якщо ж і основа й показник степеня залежать від змінної, то така функція буде показниково-степеневою.

Нехай u = f(x) і v = g(x) – функції, що мають похідні в точці х, f(x)>0.

Знайдемо похідну функції y = u^v. Логарифмуючи, одержимо:

ln y = v ln u

Приклад. Знайти похідну функції .

За отриманою вище формулою одержуємо:

Похідні цих функцій:

Остаточно:

Нехай потрібно знайти похідну функції у = f(x)за умови, що обернена їй функція x = g(y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці.

Для розв’язання цієї задачі диференціюємо функцію x = g(y) по х:

оскільки g¢(y) ¹ 0

тобто похідна оберненої функції обернена за величиною похідною даної функції.

Приклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.

Функція arctg є функцією, зворотною функції tg, тобто її похідна може бути знайдена в такий спосіб:

Відомо, що

За наведеною вище формулою одержуємо:

Оскільки то можна записати остаточну формулу для похідної арктангенса:

У такий спосіб отримані всі формули для похідних арксинуса, арккосинуса й інших зворотних функцій, наведених у таблиці похідних.

Нехай функція y = f(x) має похідну в точці х:

Тоді можна записати: , де a®0, при Dх®0.

Отже: .

Величина aDx – нескінченно мала більш високого порядку, чим f¢(x)Dx, тобто f¢(x)Dx – головна частина приросту Dу.

Визначення. Диференціалом функції f(x) у точці х називається головна лінійна частина приросту функції.

Позначається dy або df(x).

З визначення треба, що dy = f¢(x)Dx або

.

Можна також записати:

Геометричний зміст диференціала.

y

f(x)

K

dy

M Dy

L

a

x x + Dx x

Із трикутника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким чином, диференціал функції f(x) у точці х дорівнює приросту ординати дотичній до графіка цієї функції в розглянутій точці.

Властивості диференціала.

Якщо u = f(x) і v = g(x) –- функції, диференційовані в точці х, то безпосередньо з визначення диференціала випливають наступні властивості:

1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ±dv

2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4)

Диференціал складної функції.

Інваріантна форма запису диференціала.

Нехай y = f(x), x = g(t), тобто у – складна функція.

Тоді dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, що форма запису диференціала dy не залежить від того, чи буде х незалежної змінної або функцією якоїсь іншої змінної, у зв'язку із чим ця форма запису називається інваріантною формою запису диференціала.

Однак, якщо х – незалежна змінна, то

dx = Dx, але

якщо х залежить від t, то Dх ¹ dx.

У такий спосіб форма запису dy = f¢(x)Dx не є інваріантною.

Приклад. Знайти похідну функції .

Спочатку перетворимо дану функцію:

Приклад. Знайти похідну функції .

Приклад. Знайти похідну функції

Приклад. Знайти похідну функції

Приклад. Знайти похідну функції .

Читайте також:

1. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. особливості побудови банківської системи в Україн
2. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. Особливості побудови банківської системи в Україні.
3. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. Особливості побудови банківської системи в Україні.
4. Бульові функції.
5. Вартість робочої сили. Заробітна плата, її форми і функції.
6. Види речень в ділових паперах та їх стилістичні функції.
7. Види речень в ділових паперах та їх стилістичні функції.
8. Вказівники на функції. Масиви вказівників на функції
9. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
10. Головна передача, диференціал, півосі (приводні вали) і маточини ведучих коліс
11. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
12. Гроші, їх функції.

Переглядів: 2071