Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Формула Маклорена.

Формула Тейлора.

Тейлор (1685–1731) – англійський математик

 

Теорема Тейлора. 1) Нехай функція f(x) має в точці х = а й деякому її околі похідні порядку до (n+1) включно. {Тобто і всі попередні до порядку n функції і їхні похідні неперервні й диференційовані в цьому околі}.

2) Нехай х – будь-яке значення з цього околу, але х ¹ а.

Тоді між точками х і а знайдеться така точка e, що справедливо формула:

 

 

– цей вираз називається формулою Тейлора, а вираз:

 

 

 

називається залишковим членом у формі Лагранжа.

 

Доведення. Представимо функцію f(x) у вигляді деякого багаточлена Pn(x), значення якого в точці х = а дорівнює значенню функції f(x), а значення його похідних дорівнює значенням відповідних похідних функції в точці х = а.

 

(1)

 

Багаточлен Pn(x) буде близький до функції f(x). Чим більше значення n, тим ближче значення багаточлена до значень функції, тим точніше він повторює функцію.

Представимо цей багаточлен з невизначеними поки коефіцієнтами:

(2)

Для знаходження невизначених коефіцієнтів обчислюємо похідні багаточлена в точці х = а й становимо систему рівнянь:

 

(3)

 

Розв’язки цієї системи при х = а не викликає утруднень, одержуємо:

 

 

 

 

……………………......

 

Підставляючи отримані значення Ci у формулу (2), одержуємо:

 

 

 

Як було помічено вище, багаточлен не точно збігається з функцією f(x), тобто відрізняється від неї на деяку величину. Позначимо цю величину Rn+1(x). Тоді:

 

f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)

 

Теорему доведено.

 

Розглянемо докладніше величину Rn+1(x).


 

y

 

f(x) Rn+1(x)

 

Pn(x)

 

0 a x x

 

 

Як видно на малюнку, в точці х = а значення багаточлена в точності співпадає зі значенням функції. Однак, при видаленні від точки х = а розбіжність значно збільшується.

 


Іноді використається інший запис для Rn+1(x). Оскільки точка e Î(a, x), то найдеться таке число q з інтервалу 0 < q < 1, що e = a + q(xa).

Тоді можна записати:

 

Тоді, якщо прийняти a = x0, xa = Dx, x = x0 + Dx, формулу Тейлора можна записати у вигляді:

 

 

де 0 < q < 1.

 

Якщо прийняти n = 0, одержимо: f(x0 + Dx) – f(x0) = f¢(x0 + qDx)×Dx – це вираз називається формулою Лагранжа. (Жозеф Луї Лагранж (1736–1813) французький математик і механік).

Формула Тейлора має величезне значення для різних математичних перетворень. З її допомогою можна знаходити значення різних функцій, інтегрувати, вирішувати диференціальні рівняння та інше.

При розгляді степеневих рядів буде більш докладно описані деякі особливості й умови розкладу функції за формулою Тейлора.

 

 

Колін Маклорен (1698–1746) шотландський математик.

 

Формулою Маклоренаназивається формула Тейлора при а = 0:

 

 

 

 

Ми одержали так звану формулу Маклорена із залишковим членом у формі Лагранжа.

Слід зазначити, що при розкладі функції в ряд, застосування формули Маклорена краще, ніж застосування безпосередньо формули Тейлора, тому що обчислення значень похідних у нулі простіше, ніж у будь-якій іншій точці, природно, за умови, що ці похідні існують.

Однак, вибір числа а дуже важливий для практичного використання. Справа в тому, що при обчисленні значення функції в точці, розташованої відносно близько до точки а, значення, отримане за формулою Тейлора, навіть при обмеженні трьома – чотирма першими доданками, збігається з точним значенням функції практично абсолютно. При видаленні ж розглянутої точки від точки а для одержання точного значення треба брати все більшу кількість доданків формули Тейлора, що незручно.

Тобто чим більше по модулі значення різниці (х – а) тим більше точне значення функції відрізняється від знайденого за формулою Тейлора.

Крім того, можна показати, що залишковий член Rn+1(x) є нескінченно малою функцією при х®а, причому більш високого порядку, ніж (ха)n, тобто

 

.

Таким чином, ряд Маклорена можна вважати частковим випадком ряду Тейлора.

 


Читайте також:

  1. Абсолютні й відносні посилання у формулах
  2. Барометрична формула
  3. Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у зовнішньому потенціальному полі
  4. Втрати енергії вздовж круглого трубопроводу. Формула Пуазейля і коефіцієнт Дарсі.
  5. Загальна формула для визначення переміщень. Метод Мора
  6. Загальна формула руху капіталу
  7. Інтерполяційна формула Лагранжа.
  8. Іякщо функція (4.24) є розв'язною відносно диференційого рівняння (4.2) при всіхзначеннях c1,…,cn, які визначяються формулами (4.26), коли т.(x,y,y`,…,y(n-1)).
  9. Ламінарна течія рідин та газів по трубах. Формула Пуазейля
  10. Лейкоцитарна формула у здорових людей
  11. Лейкоцити, кількість, види.Лейкоцитарна формула
  12. Лекція 3 Формула повної ймовірності. Формули Байєса




Переглядів: 1166

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Диференціал функції. | Теореми про середнє.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.017 сек.