МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Формула Маклорена.Формула Тейлора. Тейлор (1685–1731) – англійський математик
Теорема Тейлора. 1) Нехай функція f(x) має в точці х = а й деякому її околі похідні порядку до (n+1) включно. {Тобто і всі попередні до порядку n функції і їхні похідні неперервні й диференційовані в цьому околі}. 2) Нехай х – будь-яке значення з цього околу, але х ¹ а. Тоді між точками х і а знайдеться така точка e, що справедливо формула:
– цей вираз називається формулою Тейлора, а вираз:
називається залишковим членом у формі Лагранжа.
Доведення. Представимо функцію f(x) у вигляді деякого багаточлена Pn(x), значення якого в точці х = а дорівнює значенню функції f(x), а значення його похідних дорівнює значенням відповідних похідних функції в точці х = а.
(1)
Багаточлен Pn(x) буде близький до функції f(x). Чим більше значення n, тим ближче значення багаточлена до значень функції, тим точніше він повторює функцію. Представимо цей багаточлен з невизначеними поки коефіцієнтами: (2) Для знаходження невизначених коефіцієнтів обчислюємо похідні багаточлена в точці х = а й становимо систему рівнянь:
(3)
Розв’язки цієї системи при х = а не викликає утруднень, одержуємо:
……………………......
Підставляючи отримані значення Ci у формулу (2), одержуємо:
Як було помічено вище, багаточлен не точно збігається з функцією f(x), тобто відрізняється від неї на деяку величину. Позначимо цю величину Rn+1(x). Тоді:
f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)
Теорему доведено.
Розглянемо докладніше величину Rn+1(x).
y
f(x) Rn+1(x)
Pn(x)
0 a x x
Як видно на малюнку, в точці х = а значення багаточлена в точності співпадає зі значенням функції. Однак, при видаленні від точки х = а розбіжність значно збільшується.
Іноді використається інший запис для Rn+1(x). Оскільки точка e Î(a, x), то найдеться таке число q з інтервалу 0 < q < 1, що e = a + q(x – a). Тоді можна записати:
Тоді, якщо прийняти a = x0, x – a = Dx, x = x0 + Dx, формулу Тейлора можна записати у вигляді:
де 0 < q < 1.
Якщо прийняти n = 0, одержимо: f(x0 + Dx) – f(x0) = f¢(x0 + qDx)×Dx – це вираз називається формулою Лагранжа. (Жозеф Луї Лагранж (1736–1813) французький математик і механік). Формула Тейлора має величезне значення для різних математичних перетворень. З її допомогою можна знаходити значення різних функцій, інтегрувати, вирішувати диференціальні рівняння та інше. При розгляді степеневих рядів буде більш докладно описані деякі особливості й умови розкладу функції за формулою Тейлора.
Колін Маклорен (1698–1746) шотландський математик.
Формулою Маклоренаназивається формула Тейлора при а = 0:
Ми одержали так звану формулу Маклорена із залишковим членом у формі Лагранжа. Слід зазначити, що при розкладі функції в ряд, застосування формули Маклорена краще, ніж застосування безпосередньо формули Тейлора, тому що обчислення значень похідних у нулі простіше, ніж у будь-якій іншій точці, природно, за умови, що ці похідні існують. Однак, вибір числа а дуже важливий для практичного використання. Справа в тому, що при обчисленні значення функції в точці, розташованої відносно близько до точки а, значення, отримане за формулою Тейлора, навіть при обмеженні трьома – чотирма першими доданками, збігається з точним значенням функції практично абсолютно. При видаленні ж розглянутої точки від точки а для одержання точного значення треба брати все більшу кількість доданків формули Тейлора, що незручно. Тобто чим більше по модулі значення різниці (х – а) тим більше точне значення функції відрізняється від знайденого за формулою Тейлора. Крім того, можна показати, що залишковий член Rn+1(x) є нескінченно малою функцією при х®а, причому більш високого порядку, ніж (х – а)n, тобто
. Таким чином, ряд Маклорена можна вважати частковим випадком ряду Тейлора.
Читайте також:
|
||||||||
|