МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів
Контакти
Тлумачний словник Авто Автоматизація Архітектура Астрономія Аудит Біологія Будівництво Бухгалтерія Винахідництво Виробництво Військова справа Генетика Географія Геологія Господарство Держава Дім Екологія Економетрика Економіка Електроніка Журналістика та ЗМІ Зв'язок Іноземні мови Інформатика Історія Комп'ютери Креслення Кулінарія Культура Лексикологія Література Логіка Маркетинг Математика Машинобудування Медицина Менеджмент Метали і Зварювання Механіка Мистецтво Музика Населення Освіта Охорона безпеки життя Охорона Праці Педагогіка Політика Право Програмування Промисловість Психологія Радіо Регилия Соціологія Спорт Стандартизація Технології Торгівля Туризм Фізика Фізіологія Філософія Фінанси Хімія Юриспунденкция |
|
|||||||
Формула Маклорена.Формула Тейлора. Тейлор (1685–1731) – англійський математик
Теорема Тейлора. 1) Нехай функція f(x) має в точці х = а й деякому її околі похідні порядку до (n+1) включно. {Тобто і всі попередні до порядку n функції і їхні похідні неперервні й диференційовані в цьому околі}. 2) Нехай х – будь-яке значення з цього околу, але х ¹ а. Тоді між точками х і а знайдеться така точка e, що справедливо формула:
– цей вираз називається формулою Тейлора, а вираз:
називається залишковим членом у формі Лагранжа.
Доведення. Представимо функцію f(x) у вигляді деякого багаточлена Pn(x), значення якого в точці х = а дорівнює значенню функції f(x), а значення його похідних дорівнює значенням відповідних похідних функції в точці х = а.
(1)
Багаточлен Pn(x) буде близький до функції f(x). Чим більше значення n, тим ближче значення багаточлена до значень функції, тим точніше він повторює функцію. Представимо цей багаточлен з невизначеними поки коефіцієнтами: (2) Для знаходження невизначених коефіцієнтів обчислюємо похідні багаточлена в точці х = а й становимо систему рівнянь:
(3)
Розв’язки цієї системи при х = а не викликає утруднень, одержуємо:
……………………......
Підставляючи отримані значення Ci у формулу (2), одержуємо:
Як було помічено вище, багаточлен не точно збігається з функцією f(x), тобто відрізняється від неї на деяку величину. Позначимо цю величину Rn+1(x). Тоді:
f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)
Теорему доведено.
Розглянемо докладніше величину Rn+1(x).
y
f(x) Rn+1(x)
Pn(x)
0 a x x
Як видно на малюнку, в точці х = а значення багаточлена в точності співпадає зі значенням функції. Однак, при видаленні від точки х = а розбіжність значно збільшується.
Іноді використається інший запис для Rn+1(x). Оскільки точка e Î(a, x), то найдеться таке число q з інтервалу 0 < q < 1, що e = a + q(x – a). Тоді можна записати:
Тоді, якщо прийняти a = x0, x – a = Dx, x = x0 + Dx, формулу Тейлора можна записати у вигляді:
де 0 < q < 1.
Якщо прийняти n = 0, одержимо: f(x0 + Dx) – f(x0) = f¢(x0 + qDx)×Dx – це вираз називається формулою Лагранжа. (Жозеф Луї Лагранж (1736–1813) французький математик і механік). Формула Тейлора має величезне значення для різних математичних перетворень. З її допомогою можна знаходити значення різних функцій, інтегрувати, вирішувати диференціальні рівняння та інше. При розгляді степеневих рядів буде більш докладно описані деякі особливості й умови розкладу функції за формулою Тейлора.
Колін Маклорен (1698–1746) шотландський математик.
Формулою Маклоренаназивається формула Тейлора при а = 0:
Ми одержали так звану формулу Маклорена із залишковим членом у формі Лагранжа. Слід зазначити, що при розкладі функції в ряд, застосування формули Маклорена краще, ніж застосування безпосередньо формули Тейлора, тому що обчислення значень похідних у нулі простіше, ніж у будь-якій іншій точці, природно, за умови, що ці похідні існують. Однак, вибір числа а дуже важливий для практичного використання. Справа в тому, що при обчисленні значення функції в точці, розташованої відносно близько до точки а, значення, отримане за формулою Тейлора, навіть при обмеженні трьома – чотирма першими доданками, збігається з точним значенням функції практично абсолютно. При видаленні ж розглянутої точки від точки а для одержання точного значення треба брати все більшу кількість доданків формули Тейлора, що незручно. Тобто чим більше по модулі значення різниці (х – а) тим більше точне значення функції відрізняється від знайденого за формулою Тейлора. Крім того, можна показати, що залишковий член Rn+1(x) є нескінченно малою функцією при х®а, причому більш високого порядку, ніж (х – а)n, тобто
. Таким чином, ряд Маклорена можна вважати частковим випадком ряду Тейлора.
Читайте також:
|
||||||||
|