• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Інтерполяційна формула Лагранжа.

.

Постановка задачі

Задача апроксимації (наближення) функції f(x) на відрізку [a, b] полягає у заміні цієї функції іншою функцією g(x), яка наближено (у певному розумінні) дорівнює f(x) на відрізку, що розглядається. У цьому випадку g(x) називається апроксимуючою функцією.

Уточнимо:

1. Апроксимуюча функція g(x ) може належати, наприклад,
   класу алгебраїчних многочленів: ,
2. Класу тригонометричних поліномів:

Уточнимо, що розуміється під“найкращим наближенням”, наприклад,

1)якщо g(x) співпадає з f(x) на заданій системі точок , тобто
,
то це задача інтерполювання;

2)якщо середнє квадратичне відхилення значення g(x) від значення f(x) є мінімальним
на заданій системі точок ,
або на всьому відрізку ,
- то це задача квадратичної апроксимації;

3)Якщо функція g(x) відрізняється f(x) на величину, абсолютне значення якої не перевищує заданого числа :,
- то це задача рівномірного наближення функції.

2. Задача інтерполювання алгебраїчними многочленами.

Нехай значення задані в точках і

Розглядається наступна інтерполяційна задача:

побудувати такий многочлен (степеня не вище за n), значення якого в точках , що називаються вузлами інтерполяції, співпадали би із значеннями в них функції f(x).

Геометричний зміст: знаходиться такий многочлен , графік якого проходив би через точки , що лежать на графіку функції , абсциси яких відповідно . Наближення функції f(x) інтерполяційним многочленом на практиці застосовують не тільки тоді коли значення функції f(x) відомі лише в деяких точках, але й тоді, коли відома в кожній точці, і її аналітичний вираз настільки складний, що викликає значні труднощі при розв’язуванні конкретної задачі, де приймає участь функція . В цьому випадку часто буває доцільним замінити її інтерполяційним многочленом, що співпадає з тільки на деякій системі точок, а інших точках лише наближено дорівнює .

Теоретичною базою можливості побудови многочлена при достатньо великій кількості вузлів інтерполяцій (а отже і степені многочлена) так, щоб точність наближення була як завгодно високою є

Теорема Вейєрштрассе. Якщо неперервна на відрізку [a,b], то знайдеться такий поліном достатньо великого степеня n , що

Відмітимо, що з цієї теореми відразу випливає і можливість рівномірного наближення функцій в класі алгебраїчних многочленів.

Отже маємо побудувати многочлен (1)

що задовольняє умовам

(2)

Очевидно, що невідомі коефіцієнти многочленна (1) можна знайти з системи рівнянь

Визначником цієї системи є

визначник Вандермонда

Цей визначник, якщо тільки ніколи не дорівнює 0. Тому СЛАР має єдиний розв’язок. І знайшовши невідомі коефіцієнти , можна записати інтерполяційний поліном.

Але така побудова інтерполяційного полінома при великому числі вузлів інтерполяції викликає значні труднощі, так як потрібно розв’язувати СЛАР великого порядку.

Далі розглянемо більш прості в практичній реалізації методи побудови .

Безпосередньою перевіркою можна переконатися що многочлен

(3)

розв’язує поставлену інтерполяційну задачу, так як на даній системі точок

приймає значення відповідно . Формула (3) має назву інтерполяційної формули Лагранжа, а побудований многочлен – многочленом Лагранжа , часто він позначається . Можна показати, що є єдиним многочленом, -го степеня що задовольняє умові (2)

Різниця називається похибкою інтерполювання.

Доведено, що де .

Для запису інтерполяційного многочленна Лагранжа зручно користуватися таблицею

…	…	…	… … … … … …	...	...	…

Тут - добуток елементів і - го рядка, - добуток елементів головної діагоналі.

Тоді многочлен Лагранжа може бути записаний так:

(4)

Приклад1. Побудувати многочлен Лагранжа 3-го степеня для функції y=f(x)

заданою таблицею. Обчислити f(2.5)

i	0	1	2	3
	2	3	4	5
	7	5	8	7

Розв’язання. Побудуємо таблицю

x-2	-1	-2	-3	-6(x-2)	7
1	x-3	-1	-2	2(x-3)	5
2	1	x-4	-1	-2(x-4)	8
3	2	1	x-5	6(x-5)	7

1) За формулою (4)отримаємо

2) Обчислимо значення функції

Читайте також:

1. Абсолютні й відносні посилання у формулах
2. Барометрична формула
3. Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у зовнішньому потенціальному полі
4. Втрати енергії вздовж круглого трубопроводу. Формула Пуазейля і коефіцієнт Дарсі.
5. Загальна формула для визначення переміщень. Метод Мора
6. Загальна формула руху капіталу
7. Іякщо функція (4.24) є розв'язною відносно диференційого рівняння (4.2) при всіхзначеннях c1,…,cn, які визначяються формулами (4.26), коли т.(x,y,y`,…,y(n-1)).
8. Ламінарна течія рідин та газів по трубах. Формула Пуазейля
9. Лейкоцитарна формула у здорових людей
10. Лейкоцити, кількість, види.Лейкоцитарна формула
11. Лекція 3 Формула повної ймовірності. Формули Байєса

Переглядів: 1989