• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Інтерполяційні многочлени Ньютона.

В практиці функціонального інтерполювання іноді зручніше використовувати многочлени Ньютона, степені яких можна послідовно підвищувати шляхом задавання додаткових вузлів (і т.д.)

Введемо поняття різниць (розділених та кінцевих).

Нехай задано значення функцій y=f(x) на системі точок

Скінченні різниці вводяться для функції
заданої на рівновіддаленій системі точок

Розділені різниці на не рівновіддаленій системі точок

Скінченна різниця 1-го порядку:

Скінченна різниця 2-го порядку:

Скінченна різниця k - го порядку:

Розділена різниця 1-го порядку

Розділена різниця 2-го порядку

Розділена різниця k -го порядку

Послідовність одержання кінцевих і розділених різниць при k=3 довільної функції наочно представлено таблицями

Таблиця скінченних різниць

Таблиця розділених різниць

Для гладких функцій числові значення та

Нехай функція y=f(x) задана на системі не рівновіддалених точок:

Тоді інтерполяційний многочлен Ньютона (позначається ) має вигляд

(5)

Нехай функція y=f(x) задана на системі рівновіддалених точок

Тоді мають місце І та ІІ інтерполяційні формули Ньютона

(6)

(7)

Формула (6) застосовується для знаходження f(x) в точках близьких до ,

формула (7) для знаходження в f(x) точках близьких до .

Приклад2. Побудувати а), б) , в) (умова прикладу 1)

Розв’язання.

а) Для побудови многочлена Ньютона для довільно розташованих вузлів складемо таблицю

2 3 4 5	7 5 8 7	-2 3 -1	5/2 -2	-3/2

За формулою (5) для n=3 маємо

2 3 4 5	7 5 8 7	-2 3 -1	5 -4	-9

б) Оскільки в даній задачі задано рівновіддалені вузли скористаємося також формулою (6).

Складемо відповідну таблицю

Можемо записати першій інтерполяційний многочлен Ньютона

в) Запишемо другий інтерполяційний многочлен Ньютона

Порівнюючи з результатами прикладу (1) можемо зробити висновок .
Це ще раз підтверджує єдиність розв’язку задачі інтерполяції в класі многочленів.

Читайте також:

1. Закони Ньютона. Маса. Сила
2. Многочлени від багатьох змінних
3. Многочлени над числовими полями
4. Перший закон Ньютона.
5. Перший закон Ньютона.
6. Перший закон Ньютона. Маса. Сила.
7. Сила. Маса. Другий закон Ньютона.
8. Тема: Основи динаміки матеріальної точки. Закони Ньютона.
9. Третій закон Ньютона.

Переглядів: 2209