МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів
Контакти
Тлумачний словник Авто Автоматизація Архітектура Астрономія Аудит Біологія Будівництво Бухгалтерія Винахідництво Виробництво Військова справа Генетика Географія Геологія Господарство Держава Дім Екологія Економетрика Економіка Електроніка Журналістика та ЗМІ Зв'язок Іноземні мови Інформатика Історія Комп'ютери Креслення Кулінарія Культура Лексикологія Література Логіка Маркетинг Математика Машинобудування Медицина Менеджмент Метали і Зварювання Механіка Мистецтво Музика Населення Освіта Охорона безпеки життя Охорона Праці Педагогіка Політика Право Програмування Промисловість Психологія Радіо Регилия Соціологія Спорт Стандартизація Технології Торгівля Туризм Фізика Фізіологія Філософія Фінанси Хімія Юриспунденкция |
|
|||||||
Многочлени над числовими полямиа)Многочлени над полем С Теорема 1. Кожний многочлен степеня вищого одиниці є звідним в полі С. Доведення. Якщо - многочлен степеня , то існує хоча б один корінь цього многочлена і, за наслідком з теореми Безу, , тобто . Оскільки , то >0, отже, звідний в полі С.▲ Наслідок 1. Для того, щоб многочлен був незвідним у полі С, необхідно і достатньо, щоб його степінь дорівнював одиниці.
Наслідок 2. Кожний многочлен над полем С єдиним способом розкладається на лінійні множники і цьому полі:, де ,,…,- корені, - старший коефіцієнт многочлена .
Якщо в розкладі існують кратні множники, то, де ,,…,- різні корені многочлена , ,,…, - відповідно їх кратності.
б) Многочлени над полем R Теорема 2. Якщо комплексне число є коренем многочлена над полем R , то спряжене число теж є коренем цього многочлена. Доведення. Обчислимо і відокремимо дійсну та уявну частини: . Оскільки корінь , то , звідки , . Обчислимо тепер . Оскільки , як дійсні числа, то (бо ). Отже, , тобто - корінь .▲ Обидва корені та многочлена мають, зрозуміло, однакову кратність.
Теорема 3. Кожний многочлен над полем R , степінь якого перевищує 2, є звідним у цьому полі. Доведення. Нехай корінь многочлена над полем R степеня n>2. Якщо R, то , де і , тобто звідний в полі R. Якщо , то теж корінь i
,
де і , причому , тобто - звідний в R.
Із викладеного вище випливає наступне твердження:
кожний многочлен f(x) над полем R має єдиний розклад на незвідні множники в цьому полі: в) Многочлени над полем Q
Основна відмінність многочленів над полем Q від многочленів над полями R та С полягає в тому, що над полем Q існують многочлени як завгодно високого степеня, незвідні в полі Q, тоді як в кільці R[x] звідним є довільний многочлен степеня вищого 2, а в кільці С[x] – степеня вищого 1. Ясно, що будь-яке алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами множенням на спільний знаменник усіх коефіцієнтів можна звести до рівняння з цілими коефіцієнтами . Терема Ейзенштейна (критерій незвідності). Якщо в многочлені з цілими коефіцієнтами коефіцієнти ,діляться на деяке просте число , причому не ділиться на , а старший коефіцієнт не ділиться на , то многочлен незвідний у полі Q . Доведення. Досить показати , що при заданих умовах не може бути добутком двох многочленів ненульового степеня з цілими коефіцієнтами . Припустимо супротивне, тобто, що . Тут r+s = n. Нехай . Тоді
Оскільки , тобто , ділиться на , але не ділиться на , то на може ділитися лише одне з чисел: або . Нехай , тоді . З другої рівності випливає, що (бо за умовою, а с0 р). Тоді з третьої рівності . Так можна показати, що всі коефіцієнти діляться на . Але це неможливо, бо тоді й ділилось б на (із останньої рівності), що суперечить умові теореми. Отже , - незвідний в полі Q ▲.
Таким чином, у кільці многочленів над полем Q є многочлени довільного степеня , незвідні в полі Q .
Читайте також:
|
||||||||
|