Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Многочлени над числовими полями

а)Многочлени над полем С

Теорема 1. Кожний многочлен степеня вищого одиниці є звідним в полі С.

Доведення. Якщо - многочлен степеня , то існує хоча б один корінь цього многочлена і, за наслідком з теореми Безу, , тобто . Оскільки , то >0, отже, звідний в полі С.▲

Наслідок 1. Для того, щоб многочлен був незвідним у полі С, необхідно і

достатньо, щоб його степінь дорівнював одиниці.

Наслідок 2. Кожний многочлен над полем С єдиним способом розкладається

на лінійні множники і цьому полі:,

де ,,…,- корені, - старший коефіцієнт многочлена .

Якщо в розкладі існують кратні множники, то, де ,,…,- різні корені многочлена , ,,…, - відповідно їх кратності.

б) Многочлени над полем R

Теорема 2. Якщо комплексне число є коренем многочлена над полем R ,

то спряжене число теж є коренем цього многочлена.

Доведення. Обчислимо і відокремимо дійсну та уявну частини:

Оскільки корінь , то , звідки , .

Обчислимо тепер . Оскільки , як дійсні числа, то

(бо ). Отже, , тобто - корінь .▲

Обидва корені та многочлена мають, зрозуміло, однакову кратність.

Теорема 3. Кожний многочлен над полем R , степінь якого перевищує 2, є

звідним у цьому полі.

Доведення. Нехай корінь многочлена над полем R степеня n>2.

Якщо R, то

, де і ,

тобто звідний в полі R.

Якщо , то теж корінь i

де і , причому , тобто - звідний в R.

Із викладеного вище випливає наступне твердження:

кожний многочлен f(x) над полем R має єдиний розклад на незвідні множники в цьому полі:

в) Многочлени над полем Q

Основна відмінність многочленів над полем Q від многочленів над полями R та С полягає в тому, що над полем Q існують многочлени як завгодно високого степеня, незвідні в полі Q, тоді як в кільці R[x] звідним є довільний многочлен степеня вищого 2, а в кільці С[x] – степеня вищого 1.

Ясно, що будь-яке алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами множенням на спільний знаменник усіх коефіцієнтів можна звести до рівняння з цілими коефіцієнтами .

Терема Ейзенштейна (критерій незвідності).

Якщо в многочлені з цілими коефіцієнтами коефіцієнти ,діляться на деяке просте число , причому не ділиться на , а старший коефіцієнт не ділиться на , то многочлен незвідний у полі Q .

Доведення. Досить показати , що при заданих умовах не може бути добутком двох многочленів ненульового степеня з цілими коефіцієнтами . Припустимо супротивне, тобто, що .

Тут r+s = n. Нехай .

Тоді

Оскільки , тобто , ділиться на , але не ділиться на , то на може ділитися лише одне з чисел: або . Нехай , тоді . З другої рівності випливає, що (бо за умовою, а с₀р). Тоді з третьої рівності . Так можна показати, що всі коефіцієнти діляться на . Але це неможливо, бо тоді й ділилось б на (із останньої рівності), що суперечить умові теореми.

Отже , - незвідний в полі Q ▲.

Таким чином, у кільці многочленів над полем Q є многочлени довільного степеня , незвідні в полі Q .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Найменше спільне кратне	\|	Многочлени від багатьох змінних

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.