• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Найменше спільне кратне

Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) та g(x) називається спільне кратне f(x) і g(x), на яке ділиться довільне інше спільне кратне цих многочленів. Позначається [f, g].

Теорема. Для довільних ненульових многочленів f(x), g(x) НСК існує і

визначається з точністю до сталого множника.

Доведення. Для доведення розглянемо многочлен який, очевидно, є спільним кратним f(x) та g(x), оскільки ділиться на кожний з них. Нехай s(x) –довільне інше спільне кратне многочленів f(x) і g(x). Тоді і , звідки s(x)=s₁(x)·f(x), а також тобто

Замінимо f(x)=(f,g)·f₁(x), g(x)=(f,g)·g₁(x),де (f₁,g₁)=1. Звідси

.

Із (f₁,g₁)=1 випливає, що тобто s₁(x)=g₁(x)·t(x), звідки Отже,

Це означає, що q(x) – найменше спільне кратне многочленів f(x) та g(x).

Якщо q₁(x) – інше НСК, то і , тобто q_l(x) та q(x) відрізняються тільки сталим множником.▲

г) Звідність многочленів

Многочлен f(х)Р[x] називається незвідниму полі Р, якщо він не є константою і не має дільників, відмінних від константи та асоційованих з ним многочленів (аналог простого числа). В іншому випадку многочлен називають звідним(аналог складеного числа). Поняття звідності є відносним і залежить від поля Р, над яким розглядається многочлен.

Приклад.

Многочлен f(х)=xнезвідний у полі Q, але звідний у полі R:

f(x)= (x-)(x+);

многочлен f(x)= x+3 незвідний в полях Q, R, але звідний у полі С:

f(x)= (x-i)(x+i).

Якщо многочлен f(х) незвідний у полі Р, то він вже є добутком незвідних в даному полі многочленів (один співмножник). Якщо многочлен f(х) звідний у полі Р, то, розклавши його і всі його співмножники в добуток незвідних многочленів у даному полі, отримаємо зображення многочлена, яке називають розкладом многочлена f(х) на незвідні множники:

f(x)=р(х)р(х)...р(х), де р(х) – незвідні в полі Р, і=1,2,...,l.

Звідси випливає ще один запис многочлена f(x):

f(x)=[p(x)][p(x)]…[p(x)],

де р(х) – попарно різні (неасоційовані) многочлени, незвідні в полі Р.

Таке зображення називають канонічним розкладом многочлена f(x) в полі Р.

д) Корені многочленів

Коренем многочлена f(x)Р[x] називається елемент будь-якого розширення поля Р такий, що f() = 0.

Теорема.Елемент Є Р є коренем многочлена f(x)Р[x] тоді і тільки тоді,

коли многочлен f(х) ділиться на х-α.

Доведення. За теоремою Безу f(х)=(х-)f(x)+ f(). Звідси, f(х) ділиться на х-тоді і тільки тоді, коли f()=0, тобто коли – корінь f(х).▲

Інше (рівносильне при =Р) означення кореня.

Коренеммногочлена f(х)Р[x] називається такий елемент αР, для якого f(х)х-α.

Елемент αР називається к-кратним коренем многочлена f(х)Р[x], якщо f(х) ділиться на (х-α), але не ділиться на (х-α).

Кількість усіх можливих коренів многочлена f(х) над полем Р не перевищує степеня многочлена.

На питання, чи кожен многочлен ненульового степеня має хоча б один корінь, відповідь дає твердження, відоме під назвою теореми Кронекера:

Якщо f(х)-довільний многочлен ненульового степеня над полем Р, то існує розширення К поля Р, в якому є корінь f(х).

Наслідком із цього твердження є наступне:

Для довільного многочлена f(х)P[x] ненульового степеня існує таке розширення L поля Р, в якому f(х) розкладається на лінійні множники. Тобто, якщо ,,...,L є коренями многочлена f(х), то

f(x)=a(x-)(x--)…(x-),

де а-старший коефіцієнт f(х).

Поле L, в якому многочлен f(x) розкладається на лінійні множники, називається полем розкладу цього многочлена.

Приклад.

Знайти поле розкладу для многочлена f(x)=x- 4.

x- 4=(x- 2)(x+ 2)=(x -)(x+)(x-i)(x+i).

Оскільки корені -,, -і, іналежать полю С, то поле С і є полем розкладу многочлена f(x)=x- 4.

Поле Р називається алгебраїчно замкнутим, якщо воно є полем розкладу для довільного многочлена f(х)P[x] ненульового степеня, тобто якщо всі корені будь-якого многочлена f(х)P[x] належить цьому ж полю.

Поле С комплексних чисел є прикладом алгебраїчно замкнутого поля.

Теорема Вієта. Якщо ,,...,- корені многочлена

f(х)=ах+ах+...+ах+аP[x], то

++...+= - ,

+,

………………………………………………………….

.

Доведення цього твердження здійснюється прирівнюванням коефіцієнтів при однакових степенях х в обох частинах.

Теорема 1. Якщо незвідний в полі Р характеристики 0 многочлен q(x) є

множником кратності k>1 многочлена f(x), то він є множником

кратності k-1 для похідної f¢(х).

Доведення. Якщо q(x) - множник кратності k многочлена f(х), то

f(x)=[q(x)]·(x), де φ(x) q(x) .

Тоді

f¢(x)=k[q(x)]·q¢(x)·¢(x)=[q(x)]^k-1·[k·q¢(x)·¢(x)].

Видно, що .

Залишилось показати, що вираз в других квадратних дужках не ділиться на . Перший доданок на не ділиться, оскільки має нижчий степінь, ніж , а φ(x) q(x) за умовою. Другий доданок ділиться на . Тоді сума

цих доданків на не ділиться. Отже, , тобто - множник кратності k-1.▲

Читайте також:

1. Влада як суспільне відношення і як системоутворюючий чинник.
2. Власність як економічна категорія втілена в реальне економічне життя. Інтеграція виробництва — форма існування в реальному економічному житті усуспільнення виробництва.
3. Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне у цілісному кільці.
4. Особливості, провідні форми та суспільне значення фізичної культури стародавнього світу
5. Політика як суспільне явище
6. Політика як суспільне явище.
7. Політика – як суспільне явище.
8. Політична влада як суспільне явище
9. Праця, як суспільне явище, розглядається на всіх рівнях соціологічної науки.
10. Прийомна сім'я (добровільне спільне проживання і виховання у сім'ї (від 1 до 4) дітей-сиріт і дітей, позбав­лених батьківського піклування).
11. Розділ VІ. СУСПІЛЬНЕ ЖИТТЯ ЛЮДИНИ.

Переглядів: 1573