• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне у цілісному кільці.

Означення факторіального кільця.

Нехай – довільне цілісне кільце.

Означення 5.1:цілісне кільце називається факторіальним (або «з однозначним розкладом на прості множники»), якщо виконуються наступні умови:

1) будь-який його ненульовий елемент можна подати у вигляді;

, (5.1)

де , – прості (не обов’язково різні) елементи кільця

2) якщо існує ще одне таке подання

де , – прості, то та (при належній нумерації) , тобто , де .

Тобто факторіальне кільце – це таке кільце, в якому існує однозначний (з точністю до перестановки та асоційованості) розклад на прості множники.

Якщо ж для деякого кільця К виконується лише умова 1) означення 5.1, то таке кільце називається кільцем з розкладом на прості множники (але не обов’язково однозначним).

Зауваження 5.2: у формулі (5.1) можливо , тобто оборонті елементи кільця теж можна подати у вигляді (5.1).

Приклад 5.3: простими елементами у кільці цілих чисел є прості числа; оборотними – елементи 1 та -1.

Теорема 5.4 (критерій факторіальності):нехай – цілісне кільце з розкладом на прості множники. Тоді наступні умови рівносильні:

1) – факторіальне кільце;

2) для будь-якого простого елемента виконано:

.

Доведення:доведемо, що .

Нехай – факторіальне, , . Тоді, за означенням 5.1, – прості, , . Так як , то , причому – прості, що . Тоді

. (5.2)

Оскільки кільце факторіальне, то, за означенням 5.1, асоційований з деяким простим елементом у правій частині (5.2).

Нехай, наприклад, . Тоді . Аналогічно, якщо , то .

Доведемо, що .

Доведемо однозначність розкладу елемента індукцією за кількістю множників у розкладі . Якщо у розкладі один множник, то є простим і його розклад однозначний. Нехай розклад на множники є однозначним, якщо елемент можна подати у вигляді добутку не більше ніж множників. Доведемо, що якщо деякий елемент можна подати у вигляді добутку -го множника, то його розклад також буде однозначним. Нехай

, . (5.3)

Тоді , отже, .

Не обмежуючи загальності, будемо вважати, що . Тоді , для деякого , і після скорочення лівої і правої частини (5.3) на (оскільки - цілісне, то таке перетворення є коректним) отримаємо

, (5.4)

У лівій частині виразу (5.4) лише простих множників, отже, розклад елемента є однозначним. Тому та , , при належній нумерації.

Приклад 5.5: з шкільної програми відомо, що кільце цілих чисел є факторіальним. На відміну від кільця , кільце не є факторіальним (доведіть це!).

Нехай – довільне цілісне кільце.

Означення 5.6: для довільних їх найбільшим спільним дільником (або просто ) будемо називати будь-який елемент , для якого виконуються наступні умови:

1) , ;

2) якщо для деякого виконуються умови , , то тоді .

Зауваження 5.7:взагалі кажучи, у довільному цілісному кільці не єдиний. А саме: якщо і , то І навпаки, якщо і то . Тобто для будь-якої пари кількість елементів, які, за означенням, є найбільшими спільними дільниками елементів , дорівнює кількості оборотних елементів кільця і всі асоційовані між собою та відрізняються один від одного на деякий множник з .

Якщо , то будемо казати, що і взаємно прості.

Приклад 5.8:у кільці цілих чисел, згідно нашому означенню, кожна пара елементів має два , які відрізняються між собою знаком. Наприклад, .

Твердження 5.9 (властивості):нехай . Тоді:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Дане твердження рекомендується довести самостійно.

Означення 5.10: для довільних їх найменшим спільним кратним будемо називати будь-який елемент , для якого виконуються наступні умови:

1) , ;

2) якщо для деякого виконується умова , , то .

Зауваження 5.11:з п.2) означення 5.10 випливає, зокрема, що .

Зауваження 5.12:для справедливе зауваження, аналогічне до зауваження 5.7.

Приклад 5.13:у кільці цілих чисел .

Слід зазначити, що у довільному цілісному кільці для деяких може не існувати та .

Теорема 5.14:нехай , причому та . Тоді:

1) або ;

2) якщо , то , причому (або, що те ж саме ).

Доведення: виконання твердження 1) даної теореми випливає з того, що . Дійсно, якщо , то для деякого , тоді , і за означенням цілісного кільця, або .

Доведемо п.2). Нехай , тоді , оскільки . Покажемо, що . За означенням , для деяких . Отже, звідки, зокрема, та (після скорочення на або , відповідно). Отже, та , і виконано п.1) означення 5.6.

Нехай для деякого . Покажемо, що . Дійсно, тоді для деяких виконано: , , отже, , де . Оскільки та , то , тобто , звідки , тобто (після скорочення на ), звідки отримаємо та виконання п.2) означення 5.6.

Нехай тепер кільце є факторіальним. Розіб’ємо всю множину простих елементів кільця на класи асоційованих елементів (ці класи не перетинаються, оскільки відношення асоційованості – відношення еквівалентності). З кожного класу виберемо єдиного представника і позначимо систему таких представників. Тоді кожен елемент можна єдиним способом (з точністю до перестановки множників) подати у вигляді добутку для деякого , , та .

Якщо при цьому для деякого виконано , то справедливе наступне твердження.

Твердження 5.15:

1) ;

2) , причому , де ;

3) , причому , де .

Зокрема, якщо , то їх розклади не містять однакових простих елементів.

Читайте також:

1. Влада як суспільне відношення і як системоутворюючий чинник.
2. Власність як економічна категорія втілена в реальне економічне життя. Інтеграція виробництва — форма існування в реальному економічному житті усуспільнення виробництва.
3. Загальні|спільний| напрямки|направлення| розвитку підприємств ресторанного господарства. Його функції.
4. Курорт Парк Сіті, найбільший курорт Юти. 93 траси, 14 підйомників.
5. Лекція 11: Суспільний вплив технологій у концепції М.Маклюена
6. Лекція. Тема 2. Виробництво і його основні чинники. Суспільний продукт.
7. Найбільший спільний дільник
8. Найменше спільне кратне
9. Особливості, провідні форми та суспільне значення фізичної культури стародавнього світу
10. Питання 2. Суспільний продукт і його форми
11. Питання 3. Суспільний продукт і його форми

Переглядів: 928