Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне у цілісному кільці.

Означення факторіального кільця.

Нехай – довільне цілісне кільце.

Означення 5.1:цілісне кільце називається факторіальним (або «з однозначним розкладом на прості множники»), якщо виконуються наступні умови:

1) будь-який його ненульовий елемент можна подати у вигляді;

, (5.1)

де , – прості (не обов’язково різні) елементи кільця

2) якщо існує ще одне таке подання

де , – прості, то та (при належній нумерації) , тобто , де .

Тобто факторіальне кільце – це таке кільце, в якому існує однозначний (з точністю до перестановки та асоційованості) розклад на прості множники.

Якщо ж для деякого кільця К виконується лише умова 1) означення 5.1, то таке кільце називається кільцем з розкладом на прості множники (але не обов’язково однозначним).

Зауваження 5.2: у формулі (5.1) можливо , тобто оборонті елементи кільця теж можна подати у вигляді (5.1).

Приклад 5.3: простими елементами у кільці цілих чисел є прості числа; оборотними – елементи 1 та -1.

Теорема 5.4 (критерій факторіальності):нехай – цілісне кільце з розкладом на прості множники. Тоді наступні умови рівносильні:

1) – факторіальне кільце;

2) для будь-якого простого елемента виконано:

Доведення:доведемо, що .

Нехай – факторіальне, , . Тоді, за означенням 5.1, – прості, , . Так як , то , причому – прості, що . Тоді

. (5.2)

Оскільки кільце факторіальне, то, за означенням 5.1, асоційований з деяким простим елементом у правій частині (5.2).

Нехай, наприклад, . Тоді . Аналогічно, якщо , то .

Доведемо, що .

Доведемо однозначність розкладу елемента індукцією за кількістю множників у розкладі . Якщо у розкладі один множник, то є простим і його розклад однозначний. Нехай розклад на множники є однозначним, якщо елемент можна подати у вигляді добутку не більше ніж множників. Доведемо, що якщо деякий елемент можна подати у вигляді добутку -го множника, то його розклад також буде однозначним. Нехай

, . (5.3)

Тоді , отже, .

Не обмежуючи загальності, будемо вважати, що . Тоді , для деякого , і після скорочення лівої і правої частини (5.3) на (оскільки - цілісне, то таке перетворення є коректним) отримаємо

, (5.4)

У лівій частині виразу (5.4) лише простих множників, отже, розклад елемента є однозначним. Тому та , , при належній нумерації.

Приклад 5.5: з шкільної програми відомо, що кільце цілих чисел є факторіальним. На відміну від кільця , кільце не є факторіальним (доведіть це!).

Нехай – довільне цілісне кільце.

Означення 5.6: для довільних їх найбільшим спільним дільником (або просто ) будемо називати будь-який елемент , для якого виконуються наступні умови:

1) , ;

2) якщо для деякого виконуються умови , , то тоді .

Зауваження 5.7:взагалі кажучи, у довільному цілісному кільці не єдиний. А саме: якщо і , то І навпаки, якщо і то . Тобто для будь-якої пари кількість елементів, які, за означенням, є найбільшими спільними дільниками елементів , дорівнює кількості оборотних елементів кільця і всі асоційовані між собою та відрізняються один від одного на деякий множник з .

Якщо , то будемо казати, що і взаємно прості.

Приклад 5.8:у кільці цілих чисел, згідно нашому означенню, кожна пара елементів має два , які відрізняються між собою знаком. Наприклад, .

Твердження 5.9 (властивості):нехай . Тоді:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Дане твердження рекомендується довести самостійно.

Означення 5.10: для довільних їх найменшим спільним кратним будемо називати будь-який елемент , для якого виконуються наступні умови:

1) , ;

2) якщо для деякого виконується умова , , то .

Зауваження 5.11:з п.2) означення 5.10 випливає, зокрема, що .

Зауваження 5.12:для справедливе зауваження, аналогічне до зауваження 5.7.

Приклад 5.13:у кільці цілих чисел .

Слід зазначити, що у довільному цілісному кільці для деяких може не існувати та .

Теорема 5.14:нехай , причому та . Тоді:

1) або ;

2) якщо , то , причому (або, що те ж саме ).

Доведення: виконання твердження 1) даної теореми випливає з того, що . Дійсно, якщо , то для деякого , тоді , і за означенням цілісного кільця, або .

Доведемо п.2). Нехай , тоді , оскільки . Покажемо, що . За означенням , для деяких . Отже, звідки, зокрема, та (після скорочення на або , відповідно). Отже, та , і виконано п.1) означення 5.6.

Нехай для деякого . Покажемо, що . Дійсно, тоді для деяких виконано: , , отже, , де . Оскільки та , то , тобто , звідки , тобто (після скорочення на ), звідки отримаємо та виконання п.2) означення 5.6.

Нехай тепер кільце є факторіальним. Розіб’ємо всю множину простих елементів кільця на класи асоційованих елементів (ці класи не перетинаються, оскільки відношення асоційованості – відношення еквівалентності). З кожного класу виберемо єдиного представника і позначимо систему таких представників. Тоді кожен елемент можна єдиним способом (з точністю до перестановки множників) подати у вигляді добутку для деякого , , та .

Якщо при цьому для деякого виконано , то справедливе наступне твердження.

Твердження 5.15:

1) ;

2) , причому , де ;

3) , причому , де .

Зокрема, якщо , то їх розклади не містять однакових простих елементів.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Функціональний взаємозв'язок окремих груп приміщень підприємств харчування	\|	Факторіальність евклідових кілець.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.