• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Факторіальність евклідових кілець.

Наслідки з алгоритму Евкліда.

Евклідові кільця та їх властивості.

Нехай – довільне цілісне кільце.

Означення 5.16: нехай задана деяка функція , що має наступні властивості:

1) ;

2) , (5.4)

причому або , або . Тоді кільце називається евклідовим. Функцію іноді називають нормою на евклідовому кільці .

Приклад 5.17: наступні кільця є евклідовими:

- кільце , де ;

- кільце поліномів , де – поле і .

Твердження 5.18 (властивості норми):

1) якщо , то ;

2) , де – одиничний елемент ;

3) якщо , то ;

4) якщо для деякого , то .

Дане твердження рекомендується довести самостійно.

Неформально можна сказати, що кільце є евклідовим, якщо ньому існує ділення з остачею. У виразі (5.4) елемент називається часткою, а – остачею від ділення на .

Якщо – евклідове кільце, то .

Для знаходження НСД використовується алгоритм Евкліда, що базується на наступних фактах:

1) якщо , де або , то (доведіть самостійно);

2) .

Алгоритм Евкліда для знаходження полягає у виконанні деякої послідовності ділень з остачею:

, ;

, ;

, ; (5.5)

…

, ;

.

Послідовність кроків є скінченою: оскільки , то на деякому (не пізніше, ніж на - му) кроці отримаємо . Тоді, очевидно, .

Дійсно, (випливає з останнього кроку), тому (з передостаннього кроку) і т.д., тому . Далі, якщо для деякого та , то (випливає з першого кроку), (з другого) і т.д., тобто .

Алгоритм Евкліда має багато важливих наслідків, які є базою для сучасної теорії чисел та суттєво використовуються у теорії скінчених полів.

Наслідок 5.19:якщо , то .

Доведення:розглянемо послідовність (5.5). З передостанньої рівності видно, що є лінійною комбінацією та :

;

аналогічно, , тому

,

тобто також є лінійною комбінацією та , і т.д., тобто виконавши аналогічну процедуру відповідну кількість кроків, отримаємо вираз вигляду , для деяких . Доведення закінчено.

Наслідок 5.20:якщо , то (частковий випадок наслідку 5.19).

Наслідок 5.21: якщо та , то .

Доведення:оскільки , то . Помножимо останню рівність на : .

Оскільки, за умовою, а ділить обидва доданки у лівій частині останньої рівності, то , тобто .

Наслідок 5.22:якщо – простий елемент, то або .

Доведення:нехай . Тоді, оскільки , то або , або . Тобто можна вважати, що або , або . Якщо , то ; інакше , якщо , то за наслідком 5.21, .

Наслідок 5.23: якщо та , то .

Доведення:за наслідком 5.22 . Помножимо рівність на : . За умовою, ліва частина ділиться на , отже, .

Наслідок 5.24: якщо та , то .

Доведення:за наслідком 5.22

,

.

Перемножимо рівності: . Нехай . Тоді ділить ліву частину останньої рівності, отже, , тобто та .

Наступне важливе твердження також є деякою мірою наслідком алгоритму Евкліда. Його рекомендується довести самостійно.

Твердження 5.25: евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

У цьому пункті доведемо, що евклідове кільце є факторіальним. Для цього знадобиться допоміжна лема.

Лема 5.26: нехай і є власним дільником елемента (тобто та не асоційований з ). Тоді .

Доведення:за означенням 5.16, оскільки , то . Доведемо (від супротивного), що .

Нехай . Розділимо на з остачею: , де або . Оскільки , то .

Якщо , то , що суперечить .

Якщо , то , оскільки – цілісне та . Отже, , тобто , що суперечить умові. Лему доведено.

Теорема 5.27: якщо – евклідове кільце, то – факторіальне кільце.

Доведення:з леми 5.26 випливає, що є кільцем з розкладом на прості множники (тобто для будь-якого існує розклад виду (5.1), але, можливо, не єдиний). Дійсно, якщо простий або , то очевидно, що такий розклад існує; якщо не простий, то будь-який його простий дільник є власним дільником, тому, за лемою 5.26, кількість його простих дільників не може бути більшою за .

Далі, за наслідком 5.22 та критерієм факторіальності 5.4, отримаємо, що – факторіальне кільце. Теорему доведено.

Переглядів: 793