• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Факторіальність евклідових кілець.

Наслідки з алгоритму Евкліда.

Евклідові кільця та їх властивості.

Нехай – довільне цілісне кільце.

Означення 5.16: нехай задана деяка функція , що має наступні властивості:

1) ;

2) , (5.4)

причому або , або . Тоді кільце називається евклідовим. Функцію іноді називають нормою на евклідовому кільці .

Приклад 5.17: наступні кільця є евклідовими:

- кільце , де ;

- кільце поліномів , де – поле і .

Твердження 5.18 (властивості норми):

1) якщо , то ;

2) , де – одиничний елемент ;

3) якщо , то ;

4) якщо для деякого , то .

Дане твердження рекомендується довести самостійно.

Неформально можна сказати, що кільце є евклідовим, якщо ньому існує ділення з остачею. У виразі (5.4) елемент називається часткою, а – остачею від ділення на .

Якщо – евклідове кільце, то .

Для знаходження НСД використовується алгоритм Евкліда, що базується на наступних фактах:

1) якщо , де або , то (доведіть самостійно);

2) .

Алгоритм Евкліда для знаходження полягає у виконанні деякої послідовності ділень з остачею:

, ;

, ;

, ; (5.5)

…

, ;

.

Послідовність кроків є скінченою: оскільки , то на деякому (не пізніше, ніж на - му) кроці отримаємо . Тоді, очевидно, .

Дійсно, (випливає з останнього кроку), тому (з передостаннього кроку) і т.д., тому . Далі, якщо для деякого та , то (випливає з першого кроку), (з другого) і т.д., тобто .

Алгоритм Евкліда має багато важливих наслідків, які є базою для сучасної теорії чисел та суттєво використовуються у теорії скінчених полів.

Наслідок 5.19:якщо , то .

Доведення:розглянемо послідовність (5.5). З передостанньої рівності видно, що є лінійною комбінацією та :

;

аналогічно, , тому

,

тобто також є лінійною комбінацією та , і т.д., тобто виконавши аналогічну процедуру відповідну кількість кроків, отримаємо вираз вигляду , для деяких . Доведення закінчено.

Наслідок 5.20:якщо , то (частковий випадок наслідку 5.19).

Наслідок 5.21: якщо та , то .

Доведення:оскільки , то . Помножимо останню рівність на : .

Оскільки, за умовою, а ділить обидва доданки у лівій частині останньої рівності, то , тобто .

Наслідок 5.22:якщо – простий елемент, то або .

Доведення:нехай . Тоді, оскільки , то або , або . Тобто можна вважати, що або , або . Якщо , то ; інакше , якщо , то за наслідком 5.21, .

Наслідок 5.23: якщо та , то .

Доведення:за наслідком 5.22 . Помножимо рівність на : . За умовою, ліва частина ділиться на , отже, .

Наслідок 5.24: якщо та , то .

Доведення:за наслідком 5.22

,

.

Перемножимо рівності: . Нехай . Тоді ділить ліву частину останньої рівності, отже, , тобто та .

Наступне важливе твердження також є деякою мірою наслідком алгоритму Евкліда. Його рекомендується довести самостійно.

Твердження 5.25: евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

У цьому пункті доведемо, що евклідове кільце є факторіальним. Для цього знадобиться допоміжна лема.

Лема 5.26: нехай і є власним дільником елемента (тобто та не асоційований з ). Тоді .

Доведення:за означенням 5.16, оскільки , то . Доведемо (від супротивного), що .

Нехай . Розділимо на з остачею: , де або . Оскільки , то .

Якщо , то , що суперечить .

Якщо , то , оскільки – цілісне та . Отже, , тобто , що суперечить умові. Лему доведено.

Теорема 5.27: якщо – евклідове кільце, то – факторіальне кільце.

Доведення:з леми 5.26 випливає, що є кільцем з розкладом на прості множники (тобто для будь-якого існує розклад виду (5.1), але, можливо, не єдиний). Дійсно, якщо простий або , то очевидно, що такий розклад існує; якщо не простий, то будь-який його простий дільник є власним дільником, тому, за лемою 5.26, кількість його простих дільників не може бути більшою за .

Далі, за наслідком 5.22 та критерієм факторіальності 5.4, отримаємо, що – факторіальне кільце. Теорему доведено.

Переглядів: 856