• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Означення поліному. Дії над поліномами.

Означення поліному над кільцем. Кільце поліномів, його властивості. Факторкільце кільця поліномів. Корені поліному, їх властивості

Нехай - довільне кільце.

Означення 6.1: формальна сума виду

, де ,

називається поліномом над кільцем . Змінна називається формальною змінною; - коефіцієнтами поліному ; - старший коефіцієнт; - вільний член. Максимальну степінь змінної будемо називати степенем полінома та позначати . Вважається також, що , де – поліном, в якого всі коефіцієнти дорівнюють нулю кільця .

Будемо вважати, що два полінома над кільцем рівні тоді й тільки тоді, якщо рівні всі їх коефіцієнти, тобто , де

,

тоді й тільки тоді, якщо та .

Зауваження 6.2:також будемо вважати, що , отже, якщо при , то .

Така домовленість дозволяє будь-які два поліноми записувати у вигляді сум з однаковим числом доданків (навіть якщо їх степені різні). Ми будемо використовувати такий запис лише тоді, коли він буде спрощувати викладення матеріалу.

Означення 6.3(дії з поліномами):

1.Додавання поліномів: нехай , , , причому або або (тут ми скористались зауваженням 6.2, хоча поліноми та , взагалі кажучи, мають різні степені).

Тоді сумою поліномів та будемо називати поліном

(6.1)

де а під операцією додавання у виразі для розуміється операція додавання, визначена в кільці .

2. Множення поліномів:

Нехай

, .

Тоді добутком поліномів та будемо називати поліном

, де , (6.2)

де під операціями додавання та множення у виразі для розуміються відповідні операції в кільці .

3. Підстановка: нехай , . Тоді вираз перестає бути формальною сумою; оскільки він містить лише операції над елементами кільця , то його значенням буде елемент кільця . Значення виразу називається значенням полінома у точці ( або при ).

Зауваження 6.4:для степеню суми та добутку поліномів справедливі наступні нерівності

;

(6.3)

причому якщо - цілісне кільце, то

(6.4)

(рівність 6.4 доведіть самостійно; це можна зробити, наприклад, від супротивного).

Читайте також:

1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
2. Графічне позначення матеріалу в перерізах і на виді - штрихування, що виконується тонкими суцільними лініями.
3. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
4. Екологія: означення, мета і завдання екології як науки
5. Загальні вимоги до оформлення геологічних карт. Умовні позначення на геологічній графіці.
6. Класифікація і позначення світлофорів
7. Класифікація, умовні позначення та маркування
8. Класичне, статистичне і геометричне означення ймовірності
9. Маркування базового позначення
10. Мережеві адаптери. Означення та основні функції.
11. НА ПОЗНАЧЕННЯ ІСТОТ / НЕІСТОТ
12. Назвіть терміни, які використовувались в різні роки й у різних країнах для позначення місцевого самоврядування.

Переглядів: 1105